정준 변환 심화 — 흐름은 변환이고, 변환은 흐름이다

해밀턴 흐름은 그 자체가 정준 변환이며, 정준 변환은 어떤 함수가 만들어 내는 짧은 흐름이다 — 두 개념이 같은 것임을 심플렉틱 형식으로 묶어 본다.

들어가며

I권 11장에서 우리는 정준 변환(canonical transformation, 이하 CT)을 생성함수 $F_1, F_2, F_3, F_4$ 의 관점에서 정의했다. 이 장은 같은 대상에 기하학적 옷을 입힌다. 핵심 주장은 두 줄이다. 첫째, 모든 해밀턴 흐름은 CT이다. 둘째, 모든 무한소 CT는 어떤 함수 $G(q,p)$ 가 만들어 내는 해밀턴 흐름이다. 이 장을 끝내면 독자는 ”$Sp(2n)$ 의 생성자가 곧 해밀토니안이다”라는 한 줄을 자기 언어로 풀어 말할 수 있을 것이다.

본론 1 — 복습과 시점 전환

I권에서 CT란 새 좌표 $(Q,P)$ 가 다시 해밀턴 형식을 따르도록 하는 좌표 변환이었다. 이번에는 같은 대상을 심플렉틱 형식(symplectic form) $\omega = dq^i \wedge dp_i$ 의 보존으로 다시 정의한다. $\omega$ 는 위상공간의 각 점에서 두 벡터에 면적을 부여하는 반대칭 2-형식이다 — 직관적으로는 ”$(q,p)$ 평면 위의 미소 평행사변형 넓이”의 일반화이다.

CT는 다음 두 동치 조건 중 어느 쪽으로 잡아도 된다.

(a) 야코비안 행렬 $M = \partial(Q,P)/\partial(q,p)$ 가 심플렉틱이다:

$$M^T J M = J, \qquad J = \begin{pmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \end{pmatrix}$$

(b) 푸아송 괄호가 옛 변수로 계산해도 정준 관계를 유지한다:

$$\{Q_i, Q_j\}_{q,p} = 0, \quad \{P_i, P_j\}_{q,p} = 0, \quad \{Q_i, P_j\}_{q,p} = \delta_{ij}$$

두 조건은 같은 사실의 행렬판과 미분판이다. 이제 흐름이라는 대상에 이 잣대를 들이댄다.

본론 2 — 흐름은 그 자체로 CT다

해밀토니안 $H$ 가 정의하는 해밀턴 벡터장 $X_H$ 는 $\iota_{X_H} \omega = -dH$ 라는 한 줄로 정의된다. 여기서 $\iota$ 는 내부곱(interior product) — 2-형식에 벡터를 하나 끼워 넣어 1-형식으로 줄이는 연산이다. 그 흐름 $\phi^t_H$ 가 $(q,p)$ 를 시간 $t$ 후의 $(Q(t), P(t))$ 로 보낸다.

주장: $\phi^t_H$ 는 모든 $t$ 에 대해 CT이다.

증명의 골격은 리 미분(Lie derivative) — 벡터장을 따라 흐를 때 텐서가 어떻게 변하는지 재는 미분 — 의 카르탕 공식이다.

$$\mathcal{L}_{X_H} \omega = d(\iota_{X_H}\omega) + \iota_{X_H}(d\omega) = d(-dH) + 0 = 0$$

$d^2 = 0$ 이라서 첫 항이 사라지고, $\omega$ 자체가 닫혀 있어서 $d\omega = 0$ 이므로 둘째 항도 사라진다. 따라서 $\omega$ 는 흐름을 따라 보존된다. 보존되는 $\omega$ 의 야코비안은 자동으로 심플렉틱이고, 본론 1의 조건 (a)에 의해 $\phi^t_H$ 는 CT이다. 진자의 시간 발전이든 케플러 궤도의 전 구간 적분이든, 그 자체가 위상공간 위의 정준 변환의 1-매개변수 가족이라는 뜻이다.

본론 3 — 무한소 CT와 $Sp(2n)$

거꾸로 가 보자. 위상공간 위의 매끄러운 함수 $G(q,p)$ 를 하나 고른다. 작은 매개변수 $\varepsilon$ (epsilon)을 써서

$$\delta q^i = \varepsilon \{q^i, G\} = \varepsilon\, \frac{\partial G}{\partial p_i}, \qquad \delta p_i = \varepsilon \{p_i, G\} = -\varepsilon\, \frac{\partial G}{\partial q^i}$$

라고 정의하면, 이 변환은 $O(\varepsilon^2)$ 까지 심플렉틱 조건을 만족한다. 즉 $G$ 는 무한소 CT의 생성자이다. 운동량은 평행이동의 생성자이고, 각운동량은 회전의 생성자라는 익숙한 그림이 그대로 위상공간 전체로 확장된다.

심플렉틱 조건을 만족하는 $2n \times 2n$ 실행렬 전체는 군을 이루며, 이를 심플렉틱 군 $Sp(2n, \mathbb{R})$ 이라 부른다. 그 리 대수는 정확히 위상공간 위의 이차 함수 $G(q,p) = \tfrac{1}{2} z^T S z$ ($S$ 는 대칭, $z = (q,p)$)들이 푸아송 괄호 아래 닫혀 있는 공간이다.

가장 깔끔한 예 하나. $G = (q^2 + p^2)/2$ 를 잡으면 무한소 CT는

$$\delta q = \varepsilon\, p, \qquad \delta p = -\varepsilon\, q$$

이고, 이는 $(q,p)$ 평면 위의 각도 $\varepsilon$ 회전이다. 그런데 이 $G$ 는 정확히 단위 각진동수 조화진동자의 해밀토니안 $H_{\text{HO}}$ 이다. 즉, “조화진동자의 시간 발전이 위상공간 회전”이라는 그림은 우연이 아니라 흐름과 CT의 동치성의 가장 단순한 사례이다. 다음 장에서 다룰 작용·각변수도 정확히 같은 시점을 다차원으로 일반화한 것이다.

파이썬으로 확인

단진자의 흐름이 위상공간 면적을 보존하는지 손으로 확인한다. 작은 직사각형 경계를 200개 점으로 표본화해 흐름을 따라 보내고, 1초 간격으로 다각형 넓이를 출력한다.

import numpy as np

# H = p^2/2 - cos q  (단진자), 해밀턴 방정식
def f(state):
    q, p = state[..., 0], state[..., 1]
    return np.stack([p, -np.sin(q)], axis=-1)

# 작은 직사각형 경계 위에 200개 점 (변마다 50개)
def rect_boundary(q0, q1, p0, p1, n_per_side=50):
    s = np.linspace(0, 1, n_per_side, endpoint=False)
    side1 = np.stack([q0 + (q1-q0)*s, np.full_like(s, p0)], axis=-1)
    side2 = np.stack([np.full_like(s, q1), p0 + (p1-p0)*s], axis=-1)
    side3 = np.stack([q1 + (q0-q1)*s, np.full_like(s, p1)], axis=-1)
    side4 = np.stack([np.full_like(s, q0), p1 + (p0-p1)*s], axis=-1)
    return np.concatenate([side1, side2, side3, side4], axis=0)

def shoelace(pts):
    x, y = pts[:, 0], pts[:, 1]
    return 0.5 * np.abs(np.dot(x, np.roll(y, -1)) - np.dot(y, np.roll(x, -1)))

pts = rect_boundary(0.5, 0.7, 0.0, 0.3)
dt, n_steps = 0.01, 500
print(f"t=0.0  area = {shoelace(pts):.6f}")
for step in range(1, n_steps + 1):
    k1 = f(pts)
    k2 = f(pts + 0.5*dt*k1)
    k3 = f(pts + 0.5*dt*k2)
    k4 = f(pts + dt*k3)
    pts = pts + (dt/6.0) * (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)
    if step % 100 == 0:
        print(f"t={step*dt:.1f}  area = {shoelace(pts):.6f}")

직사각형은 점점 길게 늘어지고 휘어지지만, 출력되는 넓이는 모든 시각에서 $0.06$ 근방 — 첫 자리 이하 차이가 $10^{-4}$ 수준에 묶인다. 흐름이 정준 변환이라는 본론 2의 주장이 숫자로 확인된 것이다.

다음 장으로

3장: 적분가능계와 작용·각변수에서는 이 장의 시점을 한 걸음 더 밀어붙인다. $n$ 개의 서로 푸아송 가환인 보존량이 있는 계라면, 그 흐름이 만드는 CT는 위상공간을 토러스로 잘라 그 위의 회전으로 정리할 수 있다. 조화진동자가 원 위의 회전이었듯이, 적분가능계는 $n$ 차원 토러스 위의 회전이 된다.