연속체 역학 — 무한 자유도로의 도약

용수철로 이어진 $N$개의 입자를 $N \to \infty$ 극한으로 보내면 한 줄의 라그랑지안 밀도와 한 줄의 파동방정식이 떨어진다 — 같은 변분원리가 무한 자유도를 가진 장(field)으로 확장되는 과정.

들어가며

지금까지 다룬 모든 계 — 1장의 해밀턴–야코비, 2장의 정준 변환, 3장의 적분 가능계, 4장의 섭동 — 에는 공통점이 하나 있다. 자유도(degrees of freedom)가 유한 했다는 점이다. 입자 한 개의 위치를 $q(t)$ 한 줄로 적든, 결합진동자 $N$ 개의 위치를 $\{q_1, q_2, \dots, q_N\}$ 으로 묶어 적든, 어쨌든 시간 $t$ 하나만의 함수가 셀 수 있을 만큼 모인 그림이었다. 이 장은 그 사다리에서 한 단을 더 오른다 — 자유도를 무한대로 보내는 한 걸음이다.

자유도를 무한대로 보낸다는 말이 무슨 뜻인지 한 줄로 풀자. 출발점은 익숙한 그림 — 용수철로 이어진 입자 $N$ 개가 일직선 위에 묶여 있는 격자다. 옆 입자와 거리가 멀어지면 용수철이 끌어당기고, 가까워지면 밀어내며, 그 결과 격자 전체가 결합진동 을 한다. 이 계의 모드(mode) 분석은 학부 역학에서 표준 — $N$ 개의 정상파 모드와 그에 대응하는 진동수 $\omega_1, \omega_2, \dots, \omega_N$ 이 떨어진다. 여기서 입자 사이 간격을 좁히면서 동시에 입자 수를 늘리는 극한을 잡으면 — 격자는 매끈한 끈 이 되고, 모드의 수는 무한대로 늘어나며, 좌표의 집합 $\{q_n(t)\}$ 은 시공간 위의 연속 함수 $\phi(t, x)$ 로 바뀐다. 이 함수가 우리가 이 장에서 처음 만나는 장(field) 이다 — 시공간의 점 $(t, x)$ 마다 값 하나 가 정의된 동역학 변수.

장의 등장은 단순히 그림이 매끈해진 것 이상의 의미를 가진다. 시간 한 변수만의 함수였던 좌표가 시공간 두 (혹은 더 일반적으로는 4) 변수의 함수로 바뀌면서, 라그랑지안의 모습도 그에 맞춰 일반화된다. 시간 적분으로만 적혀 있던 작용 $S = \int dt\, L$ 이 시공간 전체 에 대한 적분 $S = \int dt\, dx\, \mathcal{L}$ 로 확장되고, 적분 안에 들어가는 양 $\mathcal{L}$ 은 단위 길이당 라그랑지안 — 라그랑지안 밀도(Lagrangian density) — 라는 새 이름을 받는다. 이 한 줄의 변화가 가져오는 결과는 — 본론 2에서 보겠지만 — 같은 변분원리, 같은 오일러–라그랑주 절차가 무한 자유도 계에 그대로 작동한다는 사실이다. 변분의 기계 는 바뀌지 않는다, 대상 만 시공간 위의 함수로 바뀐다.

이 장을 마치면 독자는 (1) 유한 자유도 와 무한 자유도 사이의 경계가 어떤 극한 절차로 그어지는지, (2) 라그랑지안 과 라그랑지안 밀도 의 차이가 무엇이고 왜 후자가 장 이론의 자연스러운 적기 방식인지, (3) 변분원리가 시공간 적분에 적용되었을 때 떨어지는 장의 오일러–라그랑주 방정식 이 왜 이산계의 방정식과 모양이 같은지, (4) 이 한 걸음이 왜 전자기학·일반상대론·양자장론으로 이어지는 거대한 길의 첫 발자국 인지를 한 줄씩 설명할 수 있어야 한다. 본론은 셋이다. 본론 1은 격자에서 끈으로 가는 극한을 손계산으로 따라간다. 본론 2는 그 극한 위에서 변분을 돌려 파동방정식을 떨어뜨린다. 본론 3은 이 한 걸음의 물리적 의미 — 같은 틀이 어떻게 거의 모든 고전 장 이론을 통일하는지 — 를 짚는다.

본론 1 — $N$개의 입자에서 연속체로

질량 $m$ 인 입자 $N$ 개가 용수철 상수 $K$ 인 용수철로 일직선 위에 묶여 있다고 하자. 각 입자의 평형 위치에서의 변위를 $q_n(t)$ 라 두면 라그랑지안은

$$L = \sum_n \tfrac{1}{2} m \dot q_n^2 - \sum_n \tfrac{1}{2} K (q_{n+1} - q_n)^2.$$

여기서 첫 항은 각 입자의 운동에너지의 합 — 각 입자가 수직 방향 으로 변위 $q_n$ 만큼 움직이고 그 속도가 $\dot q_n$ 이라는 가정 — 이고, 둘째 항은 옆 입자와의 거리 가 평형에서 얼마나 벗어났는지에 비례하는 용수철 퍼텐셜이다. 인접 두 입자의 변위차 $q_{n+1} - q_n$ 이 상대 변위 이고, 이것이 0이면 용수철이 평형 길이를 유지한다. 이 식은 학부 역학 표준 — 결합진동자 모형의 기본 라그랑지안이다.

이제 극한 으로 간다. 인접 입자 사이의 평형 간격을 $a$ 라 두자. 격자 전체의 길이는 $L_0 = N a$ 다. 우리는 두 가지를 동시에 한다 — $a \to 0$ (간격을 0으로) 그리고 $N \to \infty$ (입자 수를 무한대로). 단, 이 두 극한이 제멋대로 가지 않도록, 다음 세 양은 유한한 값으로 고정 한다.

첫째, 격자의 전체 길이 $L_0 = N a$. 이것이 무한대로 발산하거나 0으로 사라지면 — 유한한 길이의 끈 이라는 그림이 깨진다. 그래서 $a$ 가 절반이 되면 $N$ 이 두 배가 되도록 조절한다.

둘째, 단위 길이당 질량 $\rho = m/a$ (rho, 선밀도, 단위 kg/m). 이것이 0으로 사라지면 — 질량이 없는 끈 이라는 비물리적 그림이 된다. 그래서 $a$ 를 줄이면서 각 입자의 질량 $m$ 도 같은 비율로 줄여 $\rho$ 가 일정하게 유지되도록 한다.

셋째, 장력 $T = K a$ (단위 N). 이것이 무한대로 발산하면 — 끈이 무한히 빳빳 해져서 변위가 일어날 수 없다. 0으로 사라지면 — 끈이 전혀 묶여 있지 않은 입자 무리가 된다. 그래서 $a$ 를 줄이면서 용수철 상수 $K$ 를 같은 비율로 키워 $T = K a$ 가 유한한 값으로 남도록 한다.

이 세 조건 — $L_0$, $\rho$, $T$ 가 모두 유한 — 을 동시에 만족시키는 극한 위에서, 격자는 물리적 끈 (길이 $L_0$, 선밀도 $\rho$, 장력 $T$) 으로 매끄럽게 이어진다. > 헷갈리는 자리: 세 조건 중 하나라도 안 잡으면 극한이 의미 없는 곳으로 발산한다. 유한 한 양을 유한 하게 두면서 간격만 0으로 보내는 것이 핵심이다.

이제 변위 $q_n(t)$ 를 위치 $x = n a$ 위의 함수 $\phi(t, x)$ 로 본다. 즉 $q_n(t) = \phi(t, n a)$. $N$ 이 매우 크고 $a$ 가 매우 작으면, $\phi(t, x)$ 는 $x$ 에 대해 매끈한 함수로 볼 수 있다 — 격자 점이 연속적으로 빽빽하게 깔려 있으니, 인접 점 사이의 작은 차이 는 미분 으로 적힌다. 구체적으로 유한 차분 을 도함수 로 바꾼다:

$$q_{n+1} - q_n = \phi(t, x + a) - \phi(t, x) \approx a\, \partial_x \phi(t, x).$$

이 변환은 일계 테일러 전개의 표준 — $\phi(t, x+a) \approx \phi(t, x) + a\, \partial_x \phi + \mathcal{O}(a^2)$ 의 첫 두 항 — 이다. 그리고 합 을 적분 으로 바꾼다. 격자 점이 $a$ 간격으로 깔려 있으므로, $\sum_n (\cdots)$ 는 $\int (\cdots)\, dx/a$ 와 같다 — 즉 $\sum_n a \to \int dx$ 가 단위 변환의 표준 모습이다.

이 두 변환을 라그랑지안의 두 항에 동시에 적용하자. 운동에너지 항부터 본다:

$$\sum_n \tfrac{1}{2} m \dot q_n^2 = \sum_n \tfrac{1}{2} (\rho a) (\partial_t \phi)^2 = \int dx\, \tfrac{1}{2} \rho (\partial_t \phi)^2.$$

여기서 $m = \rho a$ 를 대입했고, $\sum_n a \to \int dx$ 의 단위 변환을 썼다. 다음으로 퍼텐셜 항:

$$\sum_n \tfrac{1}{2} K (q_{n+1} - q_n)^2 = \sum_n \tfrac{1}{2} (T/a) (a\, \partial_x \phi)^2 = \sum_n \tfrac{1}{2} T a (\partial_x \phi)^2 = \int dx\, \tfrac{1}{2} T (\partial_x \phi)^2.$$

여기서 $K = T/a$ 를 대입하고 $(a\, \partial_x \phi)^2 = a^2 (\partial_x \phi)^2$ 을 풀어 적었다. 두 항을 합치면 라그랑지안은

$$L \to \int dx \left[ \tfrac{1}{2}\rho \dot\phi^2 - \tfrac{1}{2} T (\partial_x \phi)^2 \right].$$

대괄호 안의 양을 라그랑지안 밀도 $\mathcal{L}$ (caligraphic L) 이라 부른다.

$$\mathcal{L} = \tfrac{1}{2}\rho \dot\phi^2 - \tfrac{1}{2} T (\partial_x \phi)^2.$$

이 정의의 단위 를 한 줄 확인하자. $\mathcal{L}$ 은 단위 길이당 라그랑지안 — 즉 단위 J/m — 의 양이다. 시간으로 적분된 라그랑지안 $L = \int dx\, \mathcal{L}$ 은 단위 J 의 양이 된다. 한 번 더 시간 적분을 하면 작용

$$S = \int dt\, dx\, \mathcal{L}\!\left(\phi, \partial_t \phi, \partial_x \phi\right)$$

가 떨어지고, 이것이 단위 J·s — 즉 작용 의 단위 — 다. > 헷갈리는 자리: 라그랑지안 $L$ 과 라그랑지안 밀도 $\mathcal{L}$ 은 다른 양 이다. 후자는 단위 부피당(여기서는 단위 길이당) 적힌 양이고, 전자는 그 적분이다. 장 이론에서는 밀도 가 자연스러운 적기 방식 — 왜냐하면 시공간이 모든 방향에서 대등하게 등장하기를 원하기 때문이다.

3+1차원 시공간으로 일반화하면 작용은 $S = \int \mathcal{L}\, d^4 x$ 의 모양 — 4차원 시공간 전체에 대한 적분 — 으로 적힌다. 여기서 $d^4 x = dt\, dx\, dy\, dz$ 다. 시공간이 대등하게 등장하는 이 적기 방식이 본론 3에서 다루는 상대론적 장 이론 의 출발선이다.

마지막으로, 장 $\phi(t, x)$ 가 무한 자유도 를 가진다는 한 줄의 의미를 짚자. 유한 자유도 계에서는 시간 한 변수 만의 함수가 셀 수 있을 만큼 (1개, 2개, $N$ 개) 있었다. 장 $\phi(t, x)$ 는 — 시공간의 각 점 마다 값 하나 를 가지는 함수다. 즉 시공간의 점 하나하나가 독립된 자유도 다. 시공간의 점이 무한히 많으니까, 장은 무한히 많은 자유도를 가진 동역학계가 된다. > 헷갈리는 자리: 자유도가 무한이라고 해서 임의로 발산 한다는 뜻이 아니다. 셀 수 없을 만큼 많다 는 뜻일 뿐이고, 그 모두에 대해 변분원리가 한 번에 작동한다는 사실이 다음 본론의 핵심이다.

이 그림을 좀 더 구체적으로 짚어 두자. 유한 자유도 계의 위상공간 은 좌표 $(q_1, \dots, q_N, p_1, \dots, p_N)$ 의 $2N$ 차원 공간이었다. 장 이론에서는 위상공간 이 — 각 공간 점 $x$ 마다 $(\phi(x), \pi(x))$ 의 쌍을 가지는 — 무한 차원 함수 공간 이 된다. 즉 점 하나가 전체 시공간 위의 한 함수 다. 이 무한 차원 위상공간 위에서 동역학이 펼쳐진다는 그림은 — 처음 만나면 어지럽지만 — 수학적으로는 유한 자유도의 그림과 완전히 같은 구조 를 가진다. 좌표가 함수 로 바뀐 만큼 함수의 함수 — 즉 범함수(functional) — 가 등장하고, 통상의 편미분이 범함수 미분(functional derivative) 으로 바뀐다. 그러나 변분원리, 정준 운동, 푸아송 괄호 같은 해석역학의 기계적 도구는 — 형식이 살짝 더 복잡해질 뿐 — 그대로 작동한다. 이것이 해석역학이 장 이론으로 자연스럽게 확장된다 는 사실의 한 줄짜리 근거다.

본론 2 — 장 형식의 오일러–라그랑주 방정식

이산계에서 작용을 변분해 오일러–라그랑주 방정식을 유도했던 것과 같은 절차를 장에 그대로 적용한다. 차이는 하나뿐 — 변분의 대상 이 시간 한 변수만의 함수 $q(t)$ 에서 시공간 두 변수의 함수 $\phi(t, x)$ 로 바뀌었다는 점이다. 절차는 동일하다. 시공간 영역 $\Omega$ 안에서 변분 $\phi \to \phi + \delta\phi$ 를 주되, 영역의 경계 $\partial \Omega$ 에서는 $\delta\phi = 0$ 으로 둔다 — 즉 시간의 양 끝 과 공간의 양 끝 모두에서 변분이 0이다.

작용의 변분을 손계산하자. $\mathcal{L} = \mathcal{L}(\phi, \partial_t \phi, \partial_x \phi)$ 이므로,

$$\delta S = \int dt\, dx \left[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \delta\phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot\phi} \delta\dot\phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_x \phi)} \delta(\partial_x \phi) \right].$$

둘째 항과 셋째 항에 각각 부분적분을 적용한다. 둘째 항은 시간 에 대한 부분적분 — $\delta \dot\phi = \partial_t (\delta\phi)$ 이므로 시간 적분에서 부분적분으로 시간 도함수를 $\mathcal{L}$ 의 항으로 옮긴다. 셋째 항은 공간 에 대한 부분적분 — $\delta(\partial_x \phi) = \partial_x (\delta\phi)$ 이므로 공간 적분에서 부분적분으로 공간 도함수를 옮긴다. 두 경우 모두 경계항은 $\delta\phi$ 가 경계에서 0이라는 가정으로 사라진다. 결과는

$$\delta S = \int dt\, dx \left[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} - \partial_t\!\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot\phi}\right) - \partial_x\!\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_x \phi)}\right) \right] \delta\phi.$$

$\delta S = 0$ 이 임의의 $\delta\phi$ 에 대해 성립하려면, 대괄호 안이 시공간의 모든 점에서 0이어야 한다. 부호를 정리하면 장의 오일러–라그랑주 방정식

$$\frac{\partial}{\partial t}\!\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot\phi}\right) + \partial_x\!\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_x \phi)}\right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} = 0.$$

이 식의 모양을 이산계의 라그랑주 방정식 $\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q}\right) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0$ 과 나란히 적어 비교하자. 시간 도함수 한 개가 시간 도함수 + 공간 도함수 의 합으로 바뀌었을 뿐 — 기계의 구조는 동일하다. > 헷갈리는 자리: 장의 EL 방정식은 시간에 대한 도함수와 공간에 대한 도함수가 대등하게 등장한다. 이것이 시공간 대칭 — 즉 시간과 공간이 같은 무대에서 같은 역할을 한다는 사실 — 이 식의 모양에서 자동으로 노출된 모습이다. 상대론적 장 이론에서는 이 두 도함수를 시공간 도함수 $\partial_\mu = (\partial_t, \partial_x)$ 로 묶어 $\partial_\mu(\partial \mathcal{L}/\partial(\partial_\mu \phi)) - \partial \mathcal{L}/\partial \phi = 0$ 의 한 줄로 적는다 — 6장에서 다룬다.

이제 본론 1에서 적은 탄성 끈의 라그랑지안 밀도 $\mathcal{L} = \tfrac{1}{2}\rho \dot\phi^2 - \tfrac{1}{2} T (\partial_x \phi)^2$ 에 이 EL 방정식을 적용하자. 각 항을 계산하면

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot\phi} = \rho \dot\phi, \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_x \phi)} = -T\, \partial_x \phi, \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} = 0.$$

각 항을 EL 방정식에 대입하면

$$\rho \ddot\phi - T\, \phi'' = 0$$

이 떨어진다. 양변을 $\rho$ 로 나누고 $T/\rho \equiv c^2$ 로 묶으면 — 파동방정식

$$\ddot\phi = c^2\, \phi'', \qquad c = \sqrt{T/\rho}$$

이 등장한다. 여기서 $c$ 는 파동의 속도 다. > 헷갈리는 자리: 이 $c$ 는 광속 이 아니다 — 끈 위의 파동의 속도 다. 단위 분석으로 확인하자. $T$ 는 N = kg·m/s², $\rho$ 는 kg/m 이므로 $T/\rho$ 는 (kg·m/s²)/(kg/m) = m²/s², 즉 $\sqrt{T/\rho}$ 는 m/s 의 단위를 가진다. 격자의 모드 진동수 에서 자동으로 결정되는 양이고, 끈을 더 팽팽하게(큰 $T$) 또는 더 가볍게(작은 $\rho$) 만들면 파동이 더 빠르게 전파된다 — 직관적으로 맞는 그림이다.

양끝이 고정된 끈 — 즉 경계조건 $\phi(t, 0) = \phi(t, L_0) = 0$ — 위에서 이 파동방정식을 풀자. 변수분리 $\phi(t, x) = X(x) T(t)$ 를 가정하면 두 상미분방정식

$$\frac{T''(t)}{c^2 T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -k^2$$

가 떨어진다 (양변이 각각 독립 변수 의 함수이므로 상수 와 같다, 그 상수를 $-k^2$ 라 두면 양변이 진동 해를 가지므로 부호가 자연스럽다). $X(x)$ 방정식은 $X'' + k^2 X = 0$, 경계조건 $X(0) = X(L_0) = 0$ 을 만족시키는 해는 $X_n(x) = \sin(n \pi x / L_0)$, 즉 $k = k_n = n\pi/L_0$ 이고 $n = 1, 2, 3, \dots$ 다. 대응하는 시간 방정식의 해는 $T_n(t) = \cos(\omega_n t)$ (초기 속도 0 의 경우), $\omega_n = c k_n = n\pi c / L_0$. 곧 정상파 모드

$$\phi_n(t, x) = \sin(n\pi x/L_0)\cos(\omega_n t), \qquad \omega_n = n\pi c / L_0$$

이 떨어진다. 가장 낮은 진동수 $\omega_1 = \pi c / L_0$ 의 모드는 기본 모드 — 가운데에서 한 번 부풀고 양끝에서 0 — 이고, $\omega_n = n \omega_1$ 의 배음(harmonic) 들이 그 위에 등간격으로 쌓인다. > 헷갈리는 자리: 정상파 모드의 수 는 무한 이다 — $n = 1, 2, 3, \dots$ 무한히 많은 정수가 모드를 라벨링한다. 이것이 본론 1에서 짚은 무한 자유도 가 모드 분해 의 그림으로 다시 나타난 모습 — 즉 시공간의 각 점 의 자유도와 각 모드 진폭 의 자유도가 서로 다른 좌표 로 적힌 같은 양이다.

이산 격자의 결합진동 모드 ($N$ 개의 모드) 가 $N \to \infty$ 극한에서 정수 $n$ 으로 라벨링되는 무한히 많은 정상파로 매끄럽게 이어진다. 격자에서 끈으로 가는 극한 — 본론 1에서 손계산한 그 극한 — 이 모드 공간에서는 유한 개의 모드가 무한 개로 확장된다 는 그림으로 다시 보이는 셈이다.

여기서 한 줄 짚어 둘 것은 — 모드 진폭 자체가 새로운 동역학 변수 로 쓸 수 있다는 사실이다. 일반해를 모드 전개 $\phi(t, x) = \sum_n A_n(t) \sin(n\pi x/L_0)$ 로 적으면, 각 모드 진폭 $A_n(t)$ 가 독립된 조화진동자 — 진동수 $\omega_n$ 의 — 처럼 움직인다. 즉 무한 자유도의 끈은 무한히 많은 분리된 조화진동자의 모음 으로 완전히 동등하게 적힌다. 이 사실이 9장 고전에서 양자로 에서 양자장의 입자 해석 — 각 모드의 양자 한 개가 한 입자 — 의 출발점이 된다. 위상공간의 함수 공간 이라는 어지러운 그림이 분리된 모드의 합 이라는 익숙한 그림으로 다시 적히는 자리 — 그것이 모드 분해의 강력함이다.

본론 3 — 왜 이 한 걸음이 중요한가

본론 1과 2에서 한 일을 한 줄로 요약하자. 유한 자유도 계의 변분원리 — 작용 $S = \int L\, dt$ 를 극값으로 — 가 무한 자유도 계의 변분원리 — 작용 $S = \int \mathcal{L}\, d^4 x$ 를 극값으로 — 로 자연스럽게 확장된다. 변분의 기계는 같다, 적분의 차원만 늘어난다. 그 결과로 한 줄의 라그랑지안 밀도 가 한 줄의 운동방정식 을 떨어뜨린다. 이 한 걸음이 왜 중요한가 — 이 본론은 그 질문에 답한다.

첫째 — 같은 변분원리, 같은 노이터(Noether) 논리 가 이제 무한 자유도를 가진 장에 그대로 적용된다. 1장에서 시간 평행 이동 대칭이 에너지 보존을, 공간 평행 이동 대칭이 운동량 보존을 떨어뜨린다는 그림을 (해석역학 I 의 노이터 정리에서) 봤다. 그 그림이 장 이론에서는 — 시공간의 각 점에서 변분을 잡을 수 있으니까 — 국소 보존법칙 의 형태로 일반화된다. 즉 시공간 전체에서의 보존 이 각 점에서의 흐름의 발산이 0 이라는 식으로 적힌다. 이 흐름 방정식이 연속 방정식 — 전하 보존, 에너지·운동량 보존이 모두 이 한 줄로 — 의 모습이다. 8장에서 장 이론에서의 노이터 정리 를 정리할 때 다시 만난다.

둘째 — 라그랑지안 밀도 하나로 전체 물리가 결정 된다는 사실. 라그랑지안 밀도 $\mathcal{L}$ 을 적어내면 — 운동방정식이 변분으로 자동으로 떨어지고, 어떤 대칭이 있는가 를 보면 어떤 양이 보존되는가 가 자동으로 결정되며, 상호작용 항 을 추가하면 그 상호작용이 어떻게 동역학에 들어오는가 가 한 줄로 정리된다. 즉 $\mathcal{L}$ 은 이론의 모든 것 을 담은 한 개의 양이다. > 헷갈리는 자리: 라그랑지안 밀도가 이론을 결정 한다는 말은 — 그 한 줄에서 방정식, 대칭, 보존량 이 모두 떨어진다는 뜻이다. 같은 이론을 적는 다른 방식 — 해밀토니안, 작용, 그린 함수 — 이 모두 라그랑지안 밀도로부터 기계적으로 유도 된다.

이 틀이 얼마나 강력한가 를 보이려면 — 다른 물리 에 같은 틀을 적용한 예를 한 줄씩 들면 된다.

전자기학 의 라그랑지안 밀도는

$$\mathcal{L}_{\rm EM} = -\tfrac{1}{4} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu}$$

으로 적힌다. 여기서 $F_{\mu\nu}$ 는 전자기 장세기 텐서 — 4차원 시공간에서 전기장 $\vec E$ 와 자기장 $\vec B$ 를 한 묶음 으로 적은 반대칭 2-텐서 다. 구체적으로 $F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$, 여기서 $A_\mu = (\varphi, \vec A)$ 는 4-벡터 퍼텐셜이다. 이 한 줄의 라그랑지안 밀도에 장의 EL 방정식을 적용하면 — 맥스웰 방정식 이 자동으로 떨어진다 (학부 전자기학을 다 풀고 나서 보면 충격이다). > 헷갈리는 자리: $F_{\mu\nu}$ 가 반대칭 이라는 사실 — $F_{\mu\nu} = -F_{\nu\mu}$ — 은 전기장과 자기장이 같은 텐서의 다른 면 이라는 의미다. 학부 전자기학에서 두 분리된 장으로 다룬 $\vec E$ 와 $\vec B$ 가 — 시공간 4차원의 반대칭 텐서 의 6개 독립 성분 으로 묶여, 전기 3개 + 자기 3개로 자연스럽게 나뉜다. 관성좌표계 변환 을 하면 $\vec E$ 와 $\vec B$ 가 서로 섞인다 는 사실이 이 텐서 구조의 직접적 결과다.

게이지 이론 은 이 그림을 한 단 더 확장한다. 국소 대칭 — 시공간의 각 점에서 다른 회전을 주는 변환 — 에 대해 라그랑지안 밀도가 불변 이 되도록 적으면, 그 결과로 게이지 장 — 전자기장, 약한 상호작용의 W·Z 보존, 강한 상호작용의 글루온 — 이 자동으로 요구 된다. 즉 대칭이 장을 결정 한다는 그림이고, 표준모형의 모든 상호작용이 이 한 원리에서 떨어진다.

일반상대론 은 이 틀을 시공간 자체 에 적용한다. 시공간의 곡률 $R$ (리치 스칼라) 을 라그랑지안 밀도로 잡아 $\mathcal{L}_{\rm GR} = R / (16\pi G)$ 로 적고 변분을 돌리면 — 아인슈타인 방정식 이 떨어진다 (이를 힐베르트 작용 이라 부른다). 즉 시공간 자체가 동역학 변수 인 장 이론이 일반상대론이다.

양자장론 은 이 틀을 양자화 한다 — 장 $\phi(t, x)$ 와 그 켤레 운동량 $\pi(t, x) = \partial \mathcal{L}/\partial \dot\phi$ 사이에 동시간 정준 교환 관계

$$[\hat\phi(t, x), \hat\pi(t, x')] = i\hbar\, \delta(x - x')$$

를 부과해 연산자 장 으로 끌어올린다. 이 한 줄이 입자물리학 전체 의 출발선이다 — 9장에서 다시 만난다. > 헷갈리는 자리: 장의 양자화는 단순히 입자 한 개를 양자화 하는 것이 아니라 시공간의 모든 점의 자유도 를 동시에 양자화한다 — 그래서 입자가 만들어지고 사라지는 그림 (입자 수가 보존되지 않는 상태) 이 자연스럽게 등장한다. 학부 양자역학의 고정된 입자 수 그림이 깨지는 자리 — 그것이 QFT 가 학부 양자역학을 넘어서는 본질이다.

전자기학, 게이지 이론, 일반상대론, 양자장론 — 20세기 물리학의 주요 이론이 모두 한 개의 라그랑지안 밀도 + 한 개의 변분원리 라는 틀 위에 얹혀 있다. 이 장에서 한 걸음 — 입자 $N$ 개에서 무한대로의 한 걸음 — 이 바로 그 거대한 길의 첫 발자국이다. 같은 기계 가 전혀 다른 물리 를 돌린다는 사실 — 적는 대상 $\mathcal{L}$ 만 바꾸면 — 이 변분원리의 진정한 강력함 이고, 이 강력함이 6장 이후로 펼쳐질 모든 그림의 출발선이다.

파이썬으로 확인

# 양끝 고정 1차원 탄성 끈의 파동방정식을 유한차분 leapfrog으로 적분.
# 초기 가우스 펄스가 양쪽으로 갈라져 끝에서 반사되는 모습을 다섯 시점에서 본다.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

L, c = 1.0, 1.0               # 끈 길이와 파속
N = 200                       # 격자 점 수
dx = L / (N - 1)
dt = 0.5 * dx / c             # CFL 안정조건
Nt = 2000
x = np.linspace(0, L, N)
r2 = (c * dt / dx) ** 2       # leapfrog 계수의 제곱

# 초기 조건: 중앙의 가우스, 초기 속도 0
phi_prev = np.exp(-((x - L / 2) ** 2) / (2 * 0.05 ** 2))
phi_prev[0] = phi_prev[-1] = 0.0
phi = phi_prev.copy()         # 초기 속도가 0이므로 한 스텝 앞도 같다

snap_steps = np.linspace(0, Nt - 1, 5, dtype=int)
snapshots = []
for n in range(Nt):
    phi_next = np.zeros_like(phi)
    phi_next[1:-1] = (2 * phi[1:-1] - phi_prev[1:-1]
                      + r2 * (phi[2:] - 2 * phi[1:-1] + phi[:-2]))
    phi_prev, phi = phi, phi_next
    if n in snap_steps:
        snapshots.append((n, phi.copy()))

fig, ax = plt.subplots(figsize=(7, 3))
for n, snap in snapshots:
    ax.plot(x, snap, label=f"t = {n*dt:.2f}")
ax.set(xlabel="x", ylabel="phi(t, x)", title="끈 위의 파동: 다섯 시점")
ax.legend(fontsize=8)
plt.tight_layout()

이 코드의 정체를 한 줄씩 풀자. leapfrog 알고리즘은 2계 시간 미분 $\ddot\phi$ 를 중앙 차분 $(\phi^{n+1} - 2\phi^n + \phi^{n-1})/dt^2$ 로 근사하고, 2계 공간 미분 $\phi''$ 를 동일한 형태의 중앙 차분 $(\phi_{j+1} - 2\phi_j + \phi_{j-1})/dx^2$ 로 근사하는 표준 유한차분법이다. 두 차분을 파동방정식 $\ddot\phi = c^2 \phi''$ 에 대입하면 $\phi^{n+1} = 2\phi^n - \phi^{n-1} + (c\, dt/dx)^2 (\phi_{j+1}^n - 2\phi_j^n + \phi_{j-1}^n)$, 즉 코드의 phi_next[1:-1] = ... 한 줄이 떨어진다. 계수 $r^2 = (c\, dt/dx)^2$ 가 Courant–Friedrichs–Lewy (CFL) 수 — 수치 안정성을 위해 $r \le 1$ 이어야 한다는 표준 조건. 코드는 $dt = 0.5\, dx/c$ 로 잡았으므로 $r = 0.5$ — 안전한 값이다.

초기조건은 중앙의 가우스 펄스 — $\phi(0, x) = \exp(-(x - L/2)^2/(2 \sigma^2))$, $\sigma = 0.05$, 초기 속도 0 — 다. 양끝에서는 $\phi = 0$ 으로 고정 (디리클레 경계조건, 본론 2의 양끝 고정 끈에 해당). 시뮬레이션이 진행되면서 — 가우스 펄스가 좌우로 반씩 갈라져 각각 속도 $\pm c$ 로 전파되고 (이것이 달랑베르 해 — 1차원 파동방정식의 일반해 $\phi(t, x) = f(x - ct) + g(x + ct)$ — 의 모습), 양끝에 도달하면 부호가 뒤집혀 반사 된다. 부호가 뒤집히는 이유는 — 디리클레 경계조건 $\phi = 0$ 을 유지하려면, 반사파가 입사파를 상쇄 해야 하기 때문이다. 이것이 학부 물리 표준 — 고정단 반사 의 손계산이다.

다섯 시점의 스냅샷을 한 그래프에 겹쳐 그리면 — 초기에는 가운데 봉우리 하나, 시간이 흐르면 좌우 두 봉우리, 끝에 도달하면 부호가 뒤집힌 두 봉우리, 다시 가운데로 모이면 원래 펄스 가 (반대 부호로) 복원되는 주기적 진동 이 보인다. 펄스의 전파 속도 가 정확히 $c = 1$ 이라는 사실은 — 시점 $t$ 에서 봉우리의 위치가 $x = L/2 \pm c t \pmod{L}$ 에 있다는 그래프적 확인으로 만져진다. 무한 자유도 계의 운동방정식을 유한차분으로 이산화 해서 다시 유한 자유도 (200개의 격자 점) 의 컴퓨터가 푸는 — 본론 1의 역방향 과정을 코드 한 줄로 본 셈이다.

펄스가 좌우로 갈라지고, 양끝에서 부호가 뒤집혀 반사되는 모습이 보이면 — 무한 자유도 계의 운동방정식을 직접 풀어본 셈이다. 또 하나 — 격자 점 수 $N$ 을 100, 200, 400 으로 바꿔 가며 같은 시뮬레이션을 돌려 보면, 연속 극한 (큰 $N$, 작은 $dx$) 에서 수치해 가 해석해 — $\phi(t, x) = \tfrac{1}{2}[f(x - ct) + f(x + ct)]$ 의 달랑베르 해 — 로 수렴하는 모습을 손으로 확인할 수 있다. 본론 1의 극한 절차 — $N \to \infty$, $a \to 0$ — 가 역방향 에서는 수치해의 수렴 으로 다시 나타난다.

다음 장으로

6장: 고전 장론 에서는 이 장의 스칼라 장을 상대론적 으로 확장해 클라인–고든 방정식 — 상대론적 스칼라 장의 운동방정식 — 과 라그랑지안 밀도의 로런츠 불변성, 그리고 장에 대한 노이터 정리 까지 한 번에 다룬다. 이 장의 끈 방정식 $\ddot\phi = c^2 \phi''$ 가 그대로 시공간 위에서 회전 대칭과 만나면 — 시간과 공간의 도함수가 대등하게 들어간 $\partial_\mu \partial^\mu \phi + m^2 \phi = 0$ 의 클라인–고든 방정식이 떨어진다. 본론 2에서 짚은 시공간 대칭 이 식의 모양에 노출된다는 그림이, 6장에서는 명시적 4-벡터 표기 로 다시 등장한다. 이 한 걸음이 고전 장 에서 양자장 으로, 그리고 입자물리학 으로 이어지는 길의 첫 분기점이다.