섭동 이론 — KAM 정리와 공명

적분 가능한 해밀턴 계에 작은 섭동을 더하면 대부분의 불변 토러스는 살아남지만, 공명 토러스는 부서진다 — 적분 가능성이 깨지는 방식.

들어가며

3장에서 작용–각 변수 (J,θ)(J, \theta) 위에서 적분 가능한 해밀턴 계가 어떻게 위상공간을 토러스의 다발로 잘게 잘라 두는지를 보았다. nn 자유도의 운동이 nn 차원 도넛 위의 등속 직선 한 줄로 모두 정리된다는 그림은 너무 깔끔해서, 그게 자연 일반의 모습인지 아니면 우리가 손으로 적기 쉬운 모형의 특권인지가 다음 질문으로 자연스럽게 따라온다. 답은 본론 2에서 미리 짚어 둔 대로다 — 적분 가능은 예외 다. 무한 차원 함수 공간에서 임의로 골라 적은 해밀토니안이 적분 가능일 가능성은 사실상 0이고, 우리가 학부에서 익숙하게 만나는 적분 가능 모형들 — 자유 입자, 조화진동자, 케플러 — 은 그 측도 0의 예외 위에 놓인 행운의 모형들 이다.

그렇다면 이 장의 질문은 이렇다. 적분 가능 모형 H0H_0 에 임의로 작은 섭동 ϵH1\epsilon H_1 을 더하면 어떤 일이 일어나는가. 소박한 기대는 — 토러스가 약간 어긋날 뿐 본질적인 그림은 살아남으리라는 것이다. 운동이 도넛에서 갑자기 튀어 나가지는 않을 것 같다. 그런데 19세기 후반 푸앵카레가 3체 문제 를 손으로 풀어 보려 하면서 마주친 사실은, 그 소박한 기대를 작은 분모 라는 식의 한 가지 특징이 처참하게 무너뜨린다는 것이었다. 섭동 전개의 항을 적어 내려가면, 거의 모든 항에 1/(k⃗⋅ω⃗)1/(\vec k \cdot \vec\omega) 형태의 분모가 등장하고, 그 분모가 임의로 작아질 수 있다 는 사실이 전개 전체를 발산시킨다. 섭동이 작다 는 사실이 전개가 수렴한다 는 결론을 자동으로 보장해 주지 않는다는 그림이 푸앵카레의 발견이고, 그 발견이 20세기 동역학계 이론의 출발선에 놓인다.

KAM 정리(콜모고로프 1954, 아르놀트 1963, 모저 1962) 는 이 발산의 정체를 정확히 짚어 답한다. 어떤 토러스에서 분모가 위험하게 작아지는가, 그리고 어떤 토러스에서는 분모가 충분히 멀리 떨어져 있어 전개가 살아남는가 — 그 경계가 진동수 비율의 수론적 성질 에 의해 정확히 그려진다는 사실이 KAM의 알맹이다. 한 줄로 미리 적자. 충분히 무리수 인 진동수를 가진 토러스는 살아남고, 유리수 또는 그에 가까운 토러스는 부서진다 — 그리고 살아남는 토러스의 총 측도는 ϵ→0\epsilon \to 0 일 때 1로 수렴한다. 적분 가능성은 깨진다, 하지만 대부분의 자리에서 거의 깨지지 않는다 — 이 모순처럼 들리는 두 줄을 수론의 도움을 받아 일관되게 풀어 내는 것이 KAM이다.

이 장을 마치면 독자는 (1) 작은 분모 가 무슨 뜻이고 왜 그것이 섭동 전개를 위협하는지, (2) 공명 이라는 단어가 일상의 그네에서 천체역학까지 동일한 메커니즘으로 등장하는 이유, (3) KAM이 대부분의 토러스를 살린다 고 말할 때 그 대부분 이 정확히 어떤 의미인지를 한 줄로 설명할 수 있어야 한다. 본론은 셋이다. 본론 1은 무대를 차리고 작은 분모 문제를 손으로 만져 본다. 본론 2는 공명 조건을 적고 부서진 토러스 자리에 무엇이 들어서는지를 그림으로 잡는다. 본론 3은 KAM 정리의 정확한 진술 — 비퇴화 조건과 디오판토스 조건 — 을 한 문단으로 정리하고, 그 결론이 태양계의 수십억 년 안정성 같은 거대한 사실과 어떻게 연결되는지를 짚는다.

본론 1 — 무대 설정과 작은 분모 문제

적분 가능한 해밀턴 H0(J)H_0(J) 에서 출발하자. 작용 J=(J1,…,Jn)J = (J_1, \dots, J_n) 은 상수이고, 각 θi\theta_i 는 일정한 각진동수

ωi(J)=∂H0∂Ji\omega_i(J) = \frac{\partial H_0}{\partial J_i}

로 균일하게 회전한다. 즉 운동은 nn 차원 토러스 위의 직선이다. 이 식의 의미를 한 줄 더 풀자. H0H_0 가 작용 JJ 만 의 함수이므로 각 θ\theta 에 대한 의존성이 전혀 없고, 따라서 해밀턴 방정식 J˙i=−∂H0/∂θi=0\dot J_i = -\partial H_0/\partial \theta_i = 0 과 θ˙i=∂H0/∂Ji=ωi(J)\dot \theta_i = \partial H_0/\partial J_i = \omega_i(J) 가 자동으로 떨어진다. 작용은 고정 이고 각도는 일정한 속도로 증가 — 이것이 적분 가능계의 운동의 정체다. 여기에 작은 섭동을 더하자:

H(J,θ)=H0(J)+ϵ H1(J,θ)H(J, \theta) = H_0(J) + \epsilon\, H_1(J, \theta)

여기서 ϵ\epsilon (epsilon, 작은 무차원 매개변수)은 ∣ϵ∣≪1|\epsilon| \ll 1. 섭동 항 H1H_1 은 작용 JJ 와 각도 θ\theta 둘 다 에 의존할 수 있다 — 그래서 각도 의존성이 새로 들어오고, 이것이 작용 JJ 를 더 이상 상수가 아니게 만든다. 소박한 기대는 이렇다 — 새 운동도 토러스 위에 있되, 진동수만 약간 어긋날 것이다. 더 정확히는, 원래의 토러스를 살짝 비튼 새 토러스가 위상공간에 존재하고, 운동은 그 위에서 살짝 다른 진동수로 등속 회전하리라는 그림이다.

이 기대를 형식적으로 따라가는 도구가 섭동 전개 다. 새 토러스를 ϵ\epsilon 의 거듭제곱으로 전개해서 — J=J0+ϵJ(1)+ϵ2J(2)+⋯J = J_0 + \epsilon J^{(1)} + \epsilon^2 J^{(2)} + \cdots 같은 모양으로 — 차수별로 풀어 나가는 방법이다. 그 전개의 1차 항을 계산해 보면, 각 항에 다음과 같은 분모 가 나타난다:

1k⃗⋅ω⃗,k⃗=(k1,…,kn)∈Zn∖{0}\frac{1}{\vec k \cdot \vec\omega}, \quad \vec k = (k_1, \dots, k_n) \in \mathbb{Z}^n \setminus \{0\}

이 분모가 어디서 나오는지 한 단계 풀어 보자. 섭동 항 H1(J,θ)H_1(J, \theta) 을 각도 θ\theta 에 대한 푸리에 급수로 전개하면

H1(J,θ)=∑k⃗∈Znhk⃗(J) eik⃗⋅θ⃗H_1(J, \theta) = \sum_{\vec k \in \mathbb{Z}^n} h_{\vec k}(J)\, e^{i \vec k \cdot \vec\theta}

가 되고, 각 푸리에 모드 eik⃗⋅θ⃗e^{i \vec k \cdot \vec\theta} 는 시간에 따라 θ⃗(t)=θ⃗0+ω⃗t\vec\theta(t) = \vec\theta_0 + \vec\omega t 를 대입하면 eik⃗⋅θ⃗0 ei(k⃗⋅ω⃗)te^{i \vec k \cdot \vec\theta_0}\, e^{i (\vec k \cdot \vec\omega) t} 로 진동하는 양이다. 그 진동의 효과를 시간 적분으로 누적하면

∫0tei(k⃗⋅ω⃗)s ds=ei(k⃗⋅ω⃗)t−1i(k⃗⋅ω⃗)\int_0^t e^{i(\vec k \cdot \vec\omega) s}\, ds = \frac{e^{i(\vec k \cdot \vec\omega) t} - 1}{i (\vec k \cdot \vec\omega)}

가 되어, k⃗⋅ω⃗\vec k \cdot \vec\omega 가 분모 로 등장한다. 이것이 작은 분모가 등장하는 식적 출처다.

진동수 벡터 ω⃗=(ω1,…,ωn)\vec\omega = (\omega_1, \dots, \omega_n) 의 성분들이 유리수적으로 통약 가능(rationally commensurate) 하면, 즉 k⃗⋅ω⃗=0\vec k \cdot \vec\omega = 0 이 되는 정수 벡터 k⃗\vec k 가 존재하면, 그 항은 정확히 발산 한다 — 분모가 0이 되니까. 통약 가능하지 않더라도, 진동수의 비율이 유리수에 매우 가까운 어떤 무리수라면 k⃗⋅ω⃗\vec k \cdot \vec\omega 가 임의로 작은 양수 가 될 수 있고, 그 분모가 매우 큰 항 을 만들어 전개의 한 항이 통제 불능으로 커진다. 이것이 푸앵카레가 19세기에 마주쳤던 작은 분모 문제(small divisor problem) 다.

헷갈리기 쉬운 곳 — 작은 분모는 섭동 항 이 작아도 발산을 만들 수 있다. ”ϵ\epsilon 이 작으니까 ϵH1\epsilon H_1 도 작고, 따라서 모든 보정이 작을 것” 이라는 직관이 처음에는 자연스럽다. 그러나 1차 보정의 분모에 k⃗⋅ω⃗\vec k \cdot \vec\omega 가 등장하므로, 그 분모가 ϵ\epsilon 보다 더 작은 양이 되면 — 가령 k⃗⋅ω⃗∼ϵ2\vec k \cdot \vec\omega \sim \epsilon^2 이 되면 — 보정 자체가 ϵ/(k⃗⋅ω⃗)∼1/ϵ\epsilon/(\vec k \cdot \vec\omega) \sim 1/\epsilon 으로 발산 한다. 즉 섭동의 크기 와 분모의 크기 라는 두 작은 양의 비율 이 보정의 크기를 결정하므로, 단순히 ”ϵ\epsilon 이 작아서 안전하다” 는 식의 직관은 깨진다. 작은 분모 문제의 핵심은 분모가 분자보다 더 빠르게 작아질 수 있다 는 사실이다.

헷갈리기 쉬운 곳 — 통약 가능 = 진동수가 유리수 비율. “통약 가능(commensurate)” 이라는 단어가 생소하면, “공통의 단위로 측정 가능 하다” 는 어원적 의미로 풀면 된다. 두 진동수 ω1,ω2\omega_1, \omega_2 가 통약 가능이라는 것은 어떤 공통의 기본 진동수 ω0\omega_0 의 정수배 로 둘 다 적을 수 있다는 뜻이다 — ω1=mω0\omega_1 = m \omega_0, ω2=nω0\omega_2 = n \omega_0. 식으로 적으면 ω1/ω2=m/n\omega_1/\omega_2 = m/n 이 유리수가 되고, 이것이 k⃗⋅ω⃗=nω1−mω2=0\vec k \cdot \vec\omega = n \omega_1 - m \omega_2 = 0 의 형태로 떨어진다. 통약 가능 = 유리수 비율 = k⃗⋅ω⃗\vec k \cdot \vec\omega 가 0이 되는 정수 벡터 k⃗\vec k 의 존재 — 세 표현이 같은 사실의 다른 옷이다.

헷갈리기 쉬운 곳 — 1차원에서는 KAM 문제가 자명하다. 자유도가 1이면 진동수 벡터 ω⃗\vec\omega 가 한 개의 수 — 스칼라 ω\omega — 이고, k⃗\vec k 도 한 개의 정수 kk 다. 그러면 kω=0k \omega = 0 의 조건은 k=0k = 0 인 경우(이건 푸리에 영모드라서 처음부터 제외) 또는 ω=0\omega = 0 인 경우뿐이다. ω≠0\omega \neq 0 이기만 하면 모든 kk 에 대해 kωk\omega 가 0이 아닌 정수배라서, 작은 분모 문제 자체가 발생하지 않는다. 그래서 1자유도 단진자에 작은 섭동을 더해도 — 가령 외력이 아닌 작은 비선형성 을 더해도 — 토러스(이 경우엔 단순한 원)는 그냥 살아남는다. KAM의 진짜 무대는 자유도가 2 이상인 계 — 그래서 공명 격자 가 위상공간을 빽빽이 메우는 계 — 다. 학부에서 1자유도 단진자만 보고 “섭동은 안전하다” 는 직관을 얻은 학생이 다자유도로 넘어와서 처음으로 분모가 위험하다 는 사실에 당황하는 것은 자연스러운 일이다.

푸앵카레가 3체 문제 (태양–목성–토성 같은 세 중력 천체) 를 손으로 풀려고 했을 때 마주친 것이 정확히 이 문제다. 두 천체 — 케플러 2체 — 는 적분 가능이지만, 세 번째 천체를 작은 섭동 으로 더하면 작은 분모가 모든 차수에서 등장해서 섭동 급수가 수렴하지 않는다. 이 발견이 1890년 스웨덴 왕 오스카르 II 의 수학 상 의 출발선이었고, 푸앵카레가 그 상의 답으로 제출한 논문이 동역학계 이론 의 출생증이 된다. 작은 분모는 그저 식의 한 가지 불편이 아니라, 적분 가능성이 깨지는 방식의 식적 정체 다.

본론 2 — 공명 조건

자유도가 둘인 계에서 진동수 ω1,ω2\omega_1, \omega_2 가 다음을 만족하면 공명 이라 부른다:

m ω1+n ω2=0,(m,n)∈Z2∖{(0,0)}m\, \omega_1 + n\, \omega_2 = 0, \quad (m, n) \in \mathbb{Z}^2 \setminus \{(0,0)\}

공명점에서 섭동의 효과는 시간에 따라 평균이 0이 되어 사라지는 대신, 선형으로 누적 된다. 메커니즘은 친숙하다 — 그네를 자기 고유진동수에 맞춰 밀면 진폭이 시간에 비례해 커지는 그 현상과 같다. 외력 진동수가 고유진동수와 일치한 강제 단순조화진동자에서 응답이 tt 에 비례해 발산한다는 사실은 학부 1학년 진동 과목의 표준 예제다. 그 한 줄짜리 사실 — 공명에서 응답이 시간에 비례해 누적된다 — 이 다자유도 해밀턴 계의 작은 분모 문제와 정확히 같은 메커니즘의 다른 옷이다.

이 메커니즘을 한 단계 더 풀어 보자. 강제 진자 q¨+ωnat2q=fcos⁡(ωdt)\ddot q + \omega_{\rm nat}^2 q = f \cos(\omega_d t) 의 해는 동차해 + 특수해 의 합인데, 특수해는 qsp(t)=Acos⁡(ωdt)q_{\rm sp}(t) = A \cos(\omega_d t) 의 모양이고 진폭이 A=f/(ωnat2−ωd2)A = f/(\omega_{\rm nat}^2 - \omega_d^2) 가 된다. ωd→ωnat\omega_d \to \omega_{\rm nat} 의 극한에서 이 분모가 0으로 가고 진폭이 발산한다 — 이것이 1자유도 공명의 표준 결과다. 일반 다자유도 해밀턴 계에서 공명 격자 위의 진동수 벡터 가 정확히 이 1자유도 공명을 각 격자선마다 일으키는 그림이고, 그 격자선마다 한 개의 토러스가 부서진다.

차이라면, 자유도가 둘 이상인 계에서는 공명의 격자가 위상공간을 빽빽하게 메우고 있다는 점이다. 공명 격자 라는 개념을 한 줄 풀자. 자유도 nn 계의 진동수 공간 Rn\mathbb{R}^n 위에 정수 벡터 k⃗\vec k 하나마다 공명 초평면 {ω⃗:k⃗⋅ω⃗=0}\{\vec\omega : \vec k \cdot \vec\omega = 0\} 이 그어진다. 이 초평면들이 k⃗\vec k 의 모든 값에 걸쳐 그어지면, 진동수 공간 전체에 조밀한 격자 가 깔린다 — 어떤 무리수 진동수 비율 근처라도 작은 분모를 만드는 정수 벡터 k⃗\vec k 가 임의로 가까이 존재한다. 그래서 각 격자선마다 토러스 하나가 부서지고, 부서진 토러스들이 위상공간을 빽빽이 채우게 된다.

부서진 토러스의 자리에는 공명섬(resonance island) 과 그 사이를 잇는 가는 카오스 띠가 들어선다. 공명섬의 그림을 더 자세히 보자. 한 공명점 근방의 동역학을 국소 좌표 로 옮기면, 그 동역학이 단진자 해밀토니안 과 같은 모양으로 환원된다 — 안정점(중심) 주위의 닫힌 곡선들과, 그 곡선들을 둘러싸는 분리경계(separatrix), 그리고 분리경계 바깥의 회전 영역 이라는 세 부분이 한 공명점 근방에 그려진다. 단진자에서 익숙한 이 세 부분이 다자유도 해밀턴 계의 공명섬 구조 다.

공명섬의 폭 은 섭동의 크기 ϵ\epsilon 의 거듭제곱으로 결정되는데, 단진자 근사에서 정확히 ϵ\sqrt\epsilon 의 크기다. 한 줄 풀자. 공명점 근방의 국소 해밀토니안 이 δJ2/2+ϵV(θ)\delta J^2/2 + \epsilon V(\theta) 정도의 모양으로 (스케일을 적절히 잡았을 때) 환원되고, 이것은 작용 변수 δJ\delta J 와 각도 θ\theta 에서 단진자 — 운동에너지 + 코사인 형태 위치에너지 — 의 표준 모양이다. 단진자의 분리경계 가 작용 δJ\delta J 의 어느 폭에 걸쳐 있는지가 공명섬의 폭이고, 단진자의 표준 분석에서 그 폭이 ϵ\sqrt\epsilon 의 크기로 떨어진다.

다만 이 띠의 폭 — 카오스 영역의 폭은 다르다. 공명섬 자체는 주기적 운동 의 닫힌 영역이지만, 그 분리경계 근방에 얇은 카오스 띠 가 생기고, 그 띠의 폭은 ϵ\epsilon 의 더 작은 거듭제곱 (구체적으로는 지수적으로 작은 e−c/ϵe^{-c/\sqrt\epsilon} 같은 형태) 으로 줄어든다. ϵ\epsilon 이 작을수록 무대 전체에서 카오스가 차지하는 면적은 작아진다는 그림이다. 공명섬의 폭과 카오스 띠의 폭이 서로 다른 거듭제곱 으로 줄어든다는 사실은 KAM 이론의 정량적 결과 중 하나이고, 왜 작은 섭동이 카오스를 폭발시키지 않는지 의 한 줄짜리 답이기도 하다.

헷갈리기 쉬운 곳 — mω1+nω2=0m\omega_1 + n\omega_2 = 0 의 m,nm, n 은 정수. 공명 조건의 식을 처음 보면 m,nm, n 이 어떤 양인지 헷갈릴 수 있다. 핵심은 정수 라는 점이다. 그래야 θ⃗=θ⃗0+ω⃗t\vec\theta = \vec\theta_0 + \vec\omega t 에서 모드 ei(mθ1+nθ2)e^{i(m\theta_1 + n\theta_2)} 가 토러스 위에서 잘 정의되는 주기적 함수가 된다. m,nm, n 이 정수가 아니면 이 모드 자체가 토러스 위에서 단가(single-valued)가 아니게 되어 푸리에 전개에 등장하지 않는다. 그러니까 공명 조건의 m,nm, n 은 푸리에 전개에 등장하는 정수 라벨 의 의미이고, k⃗=(m,n)∈Z2\vec k = (m, n) \in \mathbb{Z}^2 가 바로 본론 1에서 나온 정수 벡터다.

헷갈리기 쉬운 곳 — 낮은 차수 공명이 더 영향이 크다. 공명 격자가 위상공간을 빽빽이 메운다는 그림에서 모든 공명이 동등한가 라는 질문이 자연스럽게 따라온다. 답은 — 아니다. 낮은 차수의 공명, 즉 ∣m∣+∣n∣|m| + |n| 이 작은 공명일수록 공명섬이 더 크다. 그 이유는 두 가지로 풀린다. 첫째, 푸리에 계수 hk⃗(J)h_{\vec k}(J) 가 매끄러운 함수 의 푸리에 계수라서 ∣k⃗∣|\vec k| 가 커지면 지수적으로 또는 거듭제곱으로 빠르게 작아진다 — 매끄러움이 강할수록 더 빠르게. 따라서 높은 차수 공명은 애초에 섭동의 그 모드 자체가 작다. 둘째, 공명섬의 폭이 hk⃗\sqrt{h_{\vec k}} 정도로 떨어지므로, 푸리에 계수가 작으면 공명섬도 작다. 그래서 1:1, 1:2, 2:3 같은 낮은 차수 공명이 가장 눈에 띄는 공명섬을 만들고, 1:100 같은 높은 차수 공명은 사실상 보이지 않는다. 천체역학에서 유의미한 공명 의 목록이 짧은 이유가 정확히 이것이다 — 목성과 토성의 5:2 공명, 명왕성과 해왕성의 3:2 공명 등.

헷갈리기 쉬운 곳 — 공명섬의 폭과 카오스 영역의 폭은 다른 거듭제곱이다. 위에서 적은 대로, 공명섬의 폭은 ϵ\sqrt\epsilon 정도이고 분리경계 근방 카오스 띠의 폭은 그보다 훨씬 작은 거듭제곱 (가령 e−c/ϵe^{-c/\sqrt\epsilon}) 이다. 처음에는 두 영역이 같은 크기 라고 직관할 수 있지만, 단진자 근사에서 분리경계는 기하학적으로 0의 두께 를 가진 곡선이고, 그 근방에 지수적으로 얇은 카오스 영역만 생긴다. 그래서 위상공간 전체에서 공명섬이 차지하는 면적 은 ϵ\sqrt\epsilon 의 거듭제곱 합으로 결정되어 ϵ→0\epsilon \to 0 일 때 0으로 가고, 카오스 영역 은 그보다 더 빠르게 0으로 간다. 살아남은 무한 토러스가 위상공간의 대부분 을 차지한다는 결론이 이 두 거듭제곱의 차이에서 떨어진다.

본론 3 — 한 문단으로 본 KAM

Kolmogorov(1954) 가 발표하고 Arnold(1963) 와 Moser(1962) 가 완성한 정리는 다음을 말한다. H0H_0 가 비퇴화(non-degenerate), 즉 진동수 사상의 야코비안이 영이 아니고

det⁡ ⁣(∂2H0∂Ji ∂Jj)≠0\det\!\left( \frac{\partial^2 H_0}{\partial J_i\, \partial J_j} \right) \ne 0

이며 H1H_1 이 충분히 매끄럽다면, 충분히 작은 ϵ\epsilon 에 대해 대부분의 불변 토러스가 살아남는다. 정확히 말하면, 진동수 벡터 ω⃗\vec\omega 가 어떤 양의 상수 γ,τ>0\gamma, \tau > 0 에 대해 디오판토스 조건(Diophantine condition)

∣k⃗⋅ω⃗∣≥γ ∣k⃗∣−τ,∀ k⃗∈Zn∖{0}|\vec k \cdot \vec\omega| \ge \gamma\, |\vec k|^{-\tau}, \quad \forall\, \vec k \in \mathbb{Z}^n \setminus \{0\}

을 만족하는 토러스만 살아남는다. 살아남은 토러스들은 위상공간에서 양의 측도를 가진 칸토어 집합 을 이룬다 — 빽빽하지만 구멍이 숭숭 뚫린 집합. 그 구멍을 채우는 것이 부서진 공명 토러스가 남긴 카오스 영역이다.

비퇴화 조건과 디오판토스 조건이라는 두 가설을 한 문단씩 풀어 보자. 비퇴화 조건은 진동수가 작용에 민감하게 의존한다 는 진술이다. ωi(J)=∂H0/∂Ji\omega_i(J) = \partial H_0/\partial J_i 이므로 진동수의 작용에 대한 편미분은 ∂ωi/∂Jj=∂2H0/∂Ji∂Jj\partial \omega_i/\partial J_j = \partial^2 H_0/\partial J_i \partial J_j — 즉 H0H_0 의 헤시안이다. 이 헤시안이 가역이라는 것은, 작용 JJ 를 한 방향으로 조금만 바꿔도 진동수 ω⃗\vec\omega 가 그 방향으로 진정 변한다는 사실이다. 거꾸로, 헤시안이 퇴화 하면 — 가령 모든 JJ 에 대해 ω⃗\vec\omega 가 같은 값을 갖는 조화진동자 — 모든 토러스가 같은 진동수 비율을 가지게 되어, KAM의 진동수 비율에 따라 토러스를 분리한다 는 전략 자체가 작동하지 않는다.

헷갈리기 쉬운 곳 — 비퇴화 = 진동수가 작용에 따라 변해야 살아남을 가능성. 비퇴화 조건이 왜 필요한지의 직관은 이렇다. KAM이 진동수 비율을 디오판토스 와 유리수에 가까움 으로 가르려면, 진동수가 작용을 따라 충분히 잘 변해야 한다 — 그래야 위상공간을 가르는 두 부분이 명확히 분리 된다. 만일 모든 작용에서 진동수가 같다면 (퇴화 — 즉 ω\omega 가 JJ 와 무관) 어떤 토러스도 디오판토스 아니면 비디오판토스 둘 중 하나로 일률적으로 분류되어, 한쪽이 모두 살거나 한쪽이 모두 죽는 극단으로 떨어진다. 비퇴화는 위상공간을 진동수에 따라 잘 가를 수 있게 해 주는 기하학적 분리도 라고 한 줄로 적을 수 있다. 등방성 조화진동자처럼 진동수가 작용과 무관 한 계는 KAM의 전제를 만족하지 않고, 그래서 그런 계에 작은 섭동을 더하면 공명 토러스가 전부 부서진다 — 살아남는 게 없다.

디오판토스 조건은 진동수 벡터가 모든 정수 격자에서 충분히 멀다 는 사실의 정량적 표현이다. 좌변 ∣k⃗⋅ω⃗∣|\vec k \cdot \vec\omega| 가 얼마나 작은지 가 작은 분모 문제의 심각성을 결정하므로, 그 양에 하한 을 주는 조건이 디오판토스다. 우변 γ ∣k⃗∣−τ\gamma\, |\vec k|^{-\tau} 는 — ∣k⃗∣|\vec k| 가 클수록 그 하한이 작아지지만, 거듭제곱적으로 만 작아진다는 그림이다. 즉 임의로 큰 k⃗\vec k 에 대해서도 ∣k⃗⋅ω⃗∣|\vec k \cdot \vec\omega| 가 거듭제곱적으로만 작아진다 는 사실이 디오판토스의 알맹이고, 그 사실이 섭동 전개의 발산을 지수적으로 빠른 수렴 (콜모고로프의 초수렴(superconvergence) 기법) 으로 막아 낸다.

헷갈리기 쉬운 곳 — 디오판토스 = 잘 근사되지 않는 무리수. 어떤 무리수 α\alpha 가 디오판토스라는 것은 — 그 수가 유리수 p/qp/q 에 의해 너무 잘 근사되지 않는다 는 정량적 진술이다. 표준 표현은 ∣α−p/q∣≥C/qτ+1|\alpha - p/q| \ge C/q^{\tau+1} 의 형태로, qq 가 클수록 근사 오차가 거듭제곱적으로만 작아져야 한다는 조건이다. 모든 무리수가 디오판토스인 것은 아니고 — 가령 리우빌 수 같은 너무 잘 근사되는 무리수 는 디오판토스가 아니다. 그러나 측도 1 의 무리수가 디오판토스라는 사실 — 즉 무작위로 골라낸 무리수가 디오판토스일 확률이 1이라는 사실이 — KAM의 결론 대부분의 토러스가 살아남는다 의 정량적 출처다. 가장 디오판토스 적인 수의 대표가 황금비 ϕ=(1+5)/2\phi = (1 + \sqrt 5)/2 — 이 수의 연분수 전개가 모두 1로 채워져 있어서 최악의 유리수 근사 만 허용한다 — 라는 점은 수론의 우아한 정리고, 그래서 KAM 이론에서 황금비 진동수 가 가장 안정한 토러스 의 대표로 등장한다.

헷갈리기 쉬운 곳 — 측도 0 (유리수 토러스) vs 양의 측도 (살아남은 토러스). 살아남는 토러스의 집합이 칸토어 집합 — 즉 빽빽하지만 구멍이 뚫린 집합 — 이라는 점이 처음에는 직관에 어긋난다. 측도가 양인데도 칸토어 같은 프랙탈 구조 를 가질 수 있는가. 답은 그렇다 다. 실수 직선 위의 변형된 칸토어 집합 들 중에는 양의 르베그 측도 를 가지는 것이 많이 있고, 그 대표적인 사례가 살찐 칸토어 집합(fat Cantor set) 이다. 닫힌 구간에서 시작해 가운데 일부를 빼는 칸토어 구성을 따르되, 빼는 길이를 충분히 빠르게 줄이면 결과 집합이 측도 양수 를 유지한다. KAM의 살아남은 토러스 집합이 정확히 이런 살찐 칸토어 의 구조를 가진다 — 유리수 비율 (와 그에 가까운 비율) 의 토러스가 측도 0 의 구멍 으로 빠지고, 남은 측도 양수의 토러스가 칸토어 같은 빽빽한 흩어진 집합 으로 살아남는다.

물리적 결론은 명료하다. 적분 가능성은 약하다 — 어떤 섭동이든 그것을 깨뜨린다. 그러나 부서지는 방식은 폭발적이지 않다 — 측도 1을 향해 살아남는 토러스의 비율은 ϵ→0\epsilon \to 0 일 때 1에 다가간다. 이것이 태양계가 수십억 년 동안 거의 적분 가능한 듯 행동하는 이유의 첫 단서이며, 또한 카오스가 어디에서 시작되는지를 가리키는 손가락이기도 하다.

이 결론을 한 단계 더 음미하자. KAM 이전의 직관 — 19세기 후반 푸앵카레 시대의 직관 — 은 작은 분모가 발산을 만드니까 섭동 급수는 발산이고, 따라서 적분 가능계의 그림은 작은 섭동 앞에서 즉시 무너진다 는 것이었다. 그 직관이 부분적으로 맞다 — 섭동 급수는 일반적으로 발산 한다, 거의 모든 항이 작은 분모를 만나니까. 그러나 콜모고로프가 발견한 것은 — 발산하는 급수를 다른 급수로 재배열하면 수렴할 수 있다 — 는 사실이다. 더 정확히는, 매 단계마다 남은 섭동의 크기를 제곱으로 줄이는 뉴턴 방식의 반복 (이른바 초수렴 기법) 을 쓰면, 작은 분모가 여전히 등장하지만 그 위험이 각 단계의 빠른 수렴 에 의해 압도된다. 이 기교 — 발산하는 푸리에 전개를 수렴하는 뉴턴 반복으로 바꿔치기 — 가 KAM 증명의 알맹이고, 20세기 동역학계 이론의 가장 우아한 도구 중 하나다.

태양계 안정성의 함의를 한 단계 더 풀자. 행성들의 운동은 각각의 태양 주위 케플러 + 행성들 사이의 작은 중력 섭동 으로 모델링되고, 이때 케플러 부분이 적분 가능 H0H_0, 행성 간 섭동이 작은 ϵH1\epsilon H_1 의 역할을 한다. 행성들의 공전 진동수 비율 이 디오판토스라면 KAM에 의해 그 토러스가 살아남고, 행성 궤도는 거의 변하지 않는 타원 으로 영원히 유지된다. 그러나 일부 진동수 비율 — 가령 명왕성과 해왕성의 3:2 공명 — 에서는 작은 공명섬이 형성되어, 그 안의 운동은 준주기적 이지만 복잡한 위상 구조 를 가지게 된다. 라스카르(Laskar) 가 1990년대에 정밀한 수치 적분으로 보인 사실은, 태양계 안쪽 행성들 — 특히 수성 — 의 궤도가 수십억 년 시간 척도에서 카오스적 이라는 것이다. KAM은 대부분이 살아남는다 고 보장하지만, 어떤 토러스가 살고 어떤 토러스가 죽는지 는 진동수 비율의 미세한 수론 에 달려 있다는 사실이 이 정리의 알맹이다.

파이썬으로 확인

강제 진자 H=p2/2+cos⁡q−0.1cos⁡(ωdt)H = p^2/2 + \cos q - 0.1\cos(\omega_d t) 를 RK4로 풀어, 구동진동수 ωd\omega_d 를 바꿔가며 최대 진폭을 잰다. 소진폭 고유진동수 ωnat=1\omega_{\text{nat}} = 1 근방에서 응답이 솟구쳐야 한다.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 강제 진자: dq/dt = p, dp/dt = -sin(q) + 0.1*sin(wd*t)
# H = p^2/2 + cos(q) - 0.1*cos(wd*t) 의 해밀턴 방정식에서 유도
def deriv(t, y, wd):
    q, p = y
    return np.array([p, -np.sin(q) + 0.1 * np.sin(wd * t)])

def rk4(y0, t, wd):
    y = np.zeros((len(t), 2)); y[0] = y0
    for i in range(len(t) - 1):
        h = t[i+1] - t[i]
        k1 = deriv(t[i],       y[i],          wd)
        k2 = deriv(t[i] + h/2, y[i] + h*k1/2, wd)
        k3 = deriv(t[i] + h/2, y[i] + h*k2/2, wd)
        k4 = deriv(t[i] + h,   y[i] + h*k3,   wd)
        y[i+1] = y[i] + h * (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) / 6
    return y

t = np.linspace(0, 200, 4001)
wds = np.linspace(0.5, 2.0, 20)
amps = [np.max(np.abs(rk4(np.array([0.1, 0.0]), t, wd)[:, 0])) for wd in wds]

plt.plot(wds, amps, 'o-')
plt.axvline(1.0, color='r', ls='--', label=r'$\omega_{\rm nat}=1$')
plt.xlabel(r'$\omega_d$'); plt.ylabel(r'max $|q(t)|$')
plt.legend(); plt.show()

ωd≈1\omega_d \approx 1 근방에서 봉우리가 보이면, 본론 2에서 묘사한 “공명에서 선형으로 누적되는 응답” 을 손으로 한 번 만져본 셈이다.

코드의 흐름을 한 번 짚자. 함수 deriv 가 강제 진자의 운동방정식 q¨=−sin⁡q+0.1sin⁡(ωdt)\ddot q = -\sin q + 0.1 \sin(\omega_d t) 를 1차 상미분방정식 두 줄 로 옮긴 것이다. 위치 qq 의 시간 도함수가 운동량 pp, 운동량의 시간 도함수가 복원력 −sin⁡q-\sin q 와 외력 +0.1sin⁡(ωdt)+0.1 \sin(\omega_d t) 의 합 — 이 두 줄이 강제 진자의 운동방정식 전체다. 함수 rk4 는 표준 4차 Runge–Kutta 한 스텝을 손으로 짠 구현이고, 매 스텝마다 네 개의 중간 도함수 평가를 합쳐 4차 정확도 의 추정을 만든다.

본 실험의 결과를 음미하자. 구동진동수 ωd\omega_d 를 0.5에서 2.0 사이로 20개 점에서 잡고, 각각의 ωd\omega_d 에 대해 200 시간 단위만큼 진자를 진동시켜 최대 진폭 을 잰다. 진자의 소진폭 고유진동수 가 ωnat=1\omega_{\rm nat} = 1 이므로 (왜냐하면 sin⁡q≈q\sin q \approx q 의 선형화 극한에서 운동방정식이 q¨+q=0\ddot q + q = 0 이 되고, 그 진동수가 1이라서), ωd≈1\omega_d \approx 1 근방에서 응답이 증폭 되는 봉우리가 그래프에 나타난다. 이 봉우리가 공명 봉우리 — 본론 2에서 묘사한 “외력 진동수가 고유진동수에 맞으면 응답이 선형으로 누적된다” 는 메커니즘의 그래프적 증거다.

봉우리의 모양 도 한 줄 짚자. 선형 강제 조화진동자에서는 봉우리가 정확히 ωd=ωnat\omega_d = \omega_{\rm nat} 에서 발산 한다 — 분모가 0이 되니까. 그러나 진자는 비선형 — sin⁡q\sin q 의 비선형성이 큰 진폭에서 작동한다 — 이라서, 진폭이 충분히 커지면 진동수 자체 가 작은 진폭일 때의 1보다 살짝 작아진다 (단진자의 주기가 진폭에 따라 길어진다는 학부 표준 사실). 이 효과 때문에 공명 봉우리가 정확히 ωd=1\omega_d = 1 에 있지 않고 살짝 왼쪽으로 기울어지며 그래프에 나타난다. 그래프에서 봉우리가 정확히 1이 아니라 0.9–1.0 사이의 어딘가 에서 가장 높은 점을 가지면, 비선형성에 의한 공명의 비대칭화 라는 부차 효과를 손으로 본 셈이다.

실험을 변형해 보고 싶다면 — 외력의 크기 0.1을 더 크게 (가령 0.3 또는 0.5로) 바꿔 보면 좋다. 봉우리가 더 높아지고, 비선형 비대칭 이 더 뚜렷해지며, 결국 외력이 충분히 크면 공명 봉우리 가 깨지고 카오스 가 시작된다 — 그 카오스의 시작점이 본론 2에서 짚은 분리경계 근방의 얇은 카오스 띠 와 같은 것이다. 외력이 더 크면 그 띠가 두꺼워지고, 결국에는 위상공간 전체가 카오스의 바다 로 잠긴다 — KAM의 작은 ϵ\epsilon 가설이 깨지는 영역이다. 이 코드 한 줄 수정으로 KAM의 국부적 영역 — 즉 작은 섭동 의 자리에서 거대한 카오스 의 자리로의 전이 — 를 손으로 만져볼 수 있다.

다음 장으로

5장: 연속체 역학으로의 확장에서는 유한 자유도의 해밀턴 그림을 무한 자유도의 장(field) 으로 끌어올린다. 작용–각 변수의 자리에 모드 진폭이, 토러스의 자리에 무한차원 위상공간이 들어선다. 이 장에서 본 “대부분은 살아남고 일부만 부서진다” 는 직관은 장 이론에서도 — 다만 훨씬 까다로운 모습으로 — 다시 등장한다. 적분 가능과 카오스의 경계가 진동수의 수론 에 의해 그어진다는 사실은 유한 자유도의 KAM 이야기지만, 그 직관 — 대칭이 만드는 토러스 구조 + 작은 섭동이 깨뜨리는 방식 — 은 무한 자유도에서도 유사한 모습으로 다시 등장한다. 다만 무한 차원에서는 측도 라는 단어 자체가 다시 정의되어야 하고, 그래서 KAM의 정확한 무한 차원 일반화는 21세기에도 여전히 활발한 연구 주제다.