대칭성과 보존 — 뇌터 정리

라그랑지안이 어떤 연속 변환에 대해 불변이면, 그 변환 하나당 궤적을 따라 보존되는 양이 정확히 하나씩 떨어진다.

들어가며

지금까지 라그랑지안 $L(q, \dot q, t)$ 를 적고 오일러–라그랑주 방정식이라는 한 줄짜리 절차를 돌려 운동방정식을 끌어냈다. 8장에서는 그 오일러–라그랑주 방정식이 작용 $S[q] = \int L\,dt$ 라는 단 하나의 수를 정류시키는 경로 조건에서 왔음을 보였다. 이번 장은 그 라그랑지안이 추가로 어떤 성질을 더 가지면 거저 떨어지는 것이 무엇인지를 다룬다.

그 성질이 대칭성(symmetry) 이고, 거저 떨어지는 것이 보존량(conserved quantity) 이다. 둘을 잇는 다리가 에미 뇌터(Emmy Noether, 1882–1935)가 1918년에 증명한 한 줄짜리 정리다 — 라그랑지안이 어떤 연속 변환에 대해 불변이면, 그 변환 하나당 궤적을 따라 보존되는 양이 정확히 하나씩 떨어진다. 변환 하나에 보존량 하나, 일대일이다.

운동량 보존, 각운동량 보존, 에너지 보존이 같은 기계장치 에서 떨어져 나오는 한 가족이다. 공간을 평행이동시켜도 물리가 같다는 사실이 운동량 보존을 낳고, 공간을 회전시켜도 물리가 같다는 사실이 각운동량 보존을 낳고, 시간을 평행이동시켜도 — 어제 한 실험과 오늘 한 실험이 같은 결과를 준다는 사실 — 물리가 같다는 사실이 에너지 보존을 낳는다. 보존법칙은 우주의 우연한 특징이 아니라 시공간이 가진 대칭성의 그림자다.

뇌터 정리 이전에는 운동량 보존은 작용–반작용 법칙에서, 에너지 보존은 일–에너지 정리에서 따로따로 끌어낼 수 있었지만 셋의 공통 뿌리는 보이지 않았다. 보존법칙이 있다는 것은 그 뒤에 반드시 어떤 연속 대칭이 숨어 있다 는 신호다 — 새로운 보존량을 발견하면 “그것의 대칭은 무엇인가”를, 새로운 대칭을 발견하면 “그것이 낳는 보존량은 무엇인가”를 묻는다. 이 양방향의 대응이 현대 물리학이 이론을 탐구하는 기본 문법이 되었다.

본론 1은 “대칭”과 “보존”의 정의와 뇌터 정리의 증명. 본론 2는 운동량·각운동량·에너지 보존이라는 세 익숙한 예. 본론 3은 중심력 문제 하나로 회전 대칭이 어떻게 궤도의 평면성을 낳는지를 끝까지 본다.

본론 1 — 뇌터 정리

배위공간 좌표를 $q = (q^1, \ldots, q^n)$ 이라고 하자. 한 매개변수 변환(one-parameter transformation) 이란 다이얼 하나를 손에 쥐고 그것을 돌리면 좌표 전체가 연속적으로 움직이는 그림이다. 다이얼을 $\epsilon$ (epsilon) 이라 부르고 식으로 적으면

$$q^i \to q^i + \epsilon\, \xi^i(q)$$

이다. $\epsilon$ 은 작은 실수 — 다이얼을 돌린 양 — 이고, $\xi^i(q)$ (xi) 는 매끄러운 성분함수 — 다이얼을 돌렸을 때 $i$ 번째 좌표가 움직이는 방향과 속도 — 다. 다이얼이 0이면 아무것도 안 변하고, 조금 돌리면 좌표가 $\xi$ 가 가리키는 쪽으로 미끄러진다. “한 매개변수”는 다이얼이 하나 라는 뜻이다.

헷갈리기 쉬운 곳 — 연속 대칭만 — 거울 대칭 같은 이산 대칭은 뇌터 정리 밖. 뇌터 정리의 변환은 연속 이어야 한다 — 다이얼 $\epsilon$ 을 0에서 출발해 매끄럽게 키울 수 있어야 한다. 공간 평행이동, 회전, 시간 평행이동은 모두 이 자격을 갖는다 — 1cm 옮길 수도, 0.5cm 옮길 수도, 그 사이를 연속으로 채울 수도 있다. 거울에 비춘 듯한 좌우 반전, 결정 격자의 90도 회전 같은 변환은 이산 대칭 — “반전한다 / 안 한다” 둘 중 하나일 뿐 0.5번 반전 같은 중간이 없다. 다이얼이 없으니 $\xi$ 도 정의되지 않고 뇌터 정리의 기계가 돌아가지 않는다. 이산 대칭도 패리티·시간 반전 등 물리에서 중요한 역할을 하지만 그것들이 낳는 결과는 뇌터 정리의 연속적으로 보존되는 양 이 아니다.

이 변환이 라그랑지안의 대칭 이라는 말은 다이얼 $\epsilon$ 을 돌려도 라그랑지안 값이 안 변한다는 뜻이다. 다이얼을 돌리면 $q^i$ 가 $q^i + \epsilon\xi^i$ 로, 그에 따라 $\dot q^i$ 도 $\dot q^i + \epsilon\dot\xi^i$ 로 옮겨 간다. 라그랑지안에 옮겨진 값을 넣었을 때 일차항까지 차이가 없으면

$$\delta L = L(q + \epsilon\xi, \dot q + \epsilon\dot\xi, t) - L(q, \dot q, t) = 0 + O(\epsilon^2)$$

이고 이것이 대칭의 정의다. 여기서 $\dot\xi^i = (\partial \xi^i / \partial q^j)\, \dot q^j$ — $\xi$ 가 $q$ 의 함수이니 그 시간 변화율은 연쇄법칙으로 이렇게 풀린다. $O(\epsilon^2)$ 는 ”$\epsilon$ 의 제곱 이상의 고차항”이다.

헷갈리기 쉬운 곳 — 대칭은 $L$ 의 성질이지 특정 궤적의 성질이 아니다. $\delta L = 0$ 은 배위공간의 모든 점에서, 모든 속도에 대해 성립해야 한다 — 입자가 어떤 경로를 따라 움직이든 상관없다. 대칭은 지형도 전체가 가진 성질이지 그 위를 걷는 한 사람의 발자취가 가진 성질이 아니다. 이 구분이 중요한 이유는 — 대칭은 궤적과 무관하게 성립하지만 보존 은 궤적 위에서만 성립한다. 두 개념의 층위가 다르다.

뇌터 정리 의 진술. 위의 한 매개변수 변환이 라그랑지안의 대칭이면, 다음 양

$$J = \frac{\partial L}{\partial \dot q^i}\, \xi^i(q)$$

은 오일러–라그랑주 방정식의 해 위에서 시간에 대해 상수다 — $dJ/dt = 0$. 모양은 일반화 운동량 $\partial L/\partial\dot q^i$ 에 다이얼을 돌렸을 때 좌표가 움직이는 방향 $\xi^i$ 를 곱해 인덱스를 합한 것 — “운동량과 변환 방향의 내적”이다.

뇌터 정리는 단순히 “대칭이 있으면 무언가 보존된다”는 존재 진술이 아니다. 보존되는 양이 무엇인지 — $\xi$ 를 알면 $J$ 가 자동으로 정해지는 명시적 공식으로 — 손에 쥐여 준다. 어떤 라그랑지안에서 “이 변환이 대칭이구나”를 알아채기만 하면, 그 변환의 $\xi$ 를 $J$ 공식에 대입하는 단순한 계산만으로 보존량의 표현식을 얻는다. 본론 2의 세 예는 모두 이 한 공식에 서로 다른 $\xi$ 를 넣는 작업이다.

증명. 출발점은 $\delta L = 0$. 좌변을 일차까지 연쇄법칙으로 펼치면

$$\delta L = \frac{\partial L}{\partial q^i}\, \epsilon \xi^i + \frac{\partial L}{\partial \dot q^i}\, \epsilon \dot\xi^i$$

— 첫 항은 ”$q$ 슬롯을 $\epsilon\xi$ 만큼 흔든 효과”, 둘째 항은 ”$\dot q$ 슬롯을 $\epsilon\dot\xi$ 만큼 흔든 효과”. 가설에 의해 좌변이 0이므로 두 항의 합이 0이다. 라그랑지안이 좌표 $q^i$ 와 속도 $\dot q^i$ 라는 두 종류의 슬롯 을 갖고 변환이 그 둘을 동시에 흔들기에 두 항으로 갈린다. 8장의 작용 변분에서 $\delta q$ 항과 $\delta\dot q$ 항이 갈라져 나왔던 것과 똑같은 구조다.

첫 항에 오일러–라그랑주 방정식 $\dfrac{\partial L}{\partial q^i} = \dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot q^i}\right)$ 을 대입한다. 이 대입은 궤적 위(on-shell) 에서만 정당하다 — 오일러–라그랑주 방정식이 물리적 궤적에서만 성립하기 때문이다.

$$0 = \frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q^i}\right) \epsilon \xi^i + \frac{\partial L}{\partial \dot q^i}\, \epsilon \dot\xi^i$$

우변은 정확히 곱의 미분 의 펼쳐진 모양이다. $\dfrac{d}{dt}(A \cdot B) = \dot A \cdot B + A \cdot \dot B$ 에서 $A = \partial L/\partial\dot q^i$, $B = \xi^i$ 로 두면 첫 항이 $\dot A \cdot B$, 둘째 항이 $A \cdot \dot B$ ($\dot\xi^i = \dot B$) 다. 묶으면

$$0 = \epsilon\, \frac{d}{dt}\!\left( \frac{\partial L}{\partial \dot q^i}\, \xi^i \right) = \epsilon\, \frac{dJ}{dt}$$

— $\epsilon \ne 0$ 이니 $dJ/dt = 0$.

헷갈리기 쉬운 곳 — 보존은 궤적 위(on-shell)에서만 — EL 방정식을 쓴다. 증명의 결정적 한 줄이 첫 항에 오일러–라그랑주 방정식을 대입하는 단계였다. 오일러–라그랑주 방정식은 아무 경로에서나 성립하는 식이 아니라 작용을 정류시키는 경로, 곧 물리적 궤적에서만 성립한다. $dJ/dt = 0$ 도 그 물리적 궤적 위에서만 보장된다 — “on-shell에서 보존된다”. 입자를 손으로 잡아 임의의 비물리적 경로를 따라 끌고 다니면 $J$ 는 보존되지 않을 수 있다. 두 개념의 층위 — 대칭 은 라그랑지안의 성질이라 배위공간 전체에서 항상 성립하지만(off-shell), 보존 은 그 대칭이 물리적 궤적 위로 옮겨 와야 비로소 성립한다(on-shell). 뇌터 정리는 이 두 층위를 잇는 다리이고 그 다리의 핵심 부품이 오일러–라그랑주 방정식이다.

본론 2 — 세 가지 고전적 예

(a) 공간 병진 — 운동량 보존. 다이얼을 돌리면 입자 전체가 $\hat n$ 방향으로 평행이동하는 변환 — $\vec x \to \vec x + \epsilon \hat n$. 자유입자나 외부장 없이 자기들끼리만 상호작용하는 닫힌 다입자계처럼 라그랑지안이 절대 위치 $\vec x$ 에 의존하지 않는 경우, 입자 전체를 통째로 옮겨도 값이 안 변한다 — 입자들 사이의 상대 위치만 중요하지 무리가 공간의 어디에 놓여 있는지는 중요하지 않다. 평행이동이 대칭이다. 변환 방향은 $\xi^i = \hat n^i$. 뇌터의 $J$ 에 넣으면

$$J = \frac{\partial L}{\partial \dot x^i}\, \hat n^i = \vec p \cdot \hat n$$

즉 $\hat n$ 방향 선운동량(linear momentum) 이 보존된다. $\hat n$ 으로 세 독립 방향($x$, $y$, $z$)을 차례로 잡으면 보존량 셋이 나오고 합치면 $\vec p$ 벡터 전체가 보존된다.

헷갈리기 쉬운 곳 — $L$ 이 $\vec x$ 에 의존하지 않음 = 공간이 균질(homogeneous). “라그랑지안이 절대 위치에 의존하지 않는다”는 공간에 대한 물리적 진술이다 — 공간의 모든 점이 물리적으로 동등 하다, 곧 공간이 균질(homogeneous) 하다. 여기서 실험한 결과와 1미터 옆에서 실험한 결과가 같다. 우주의 어느 구석도 “특별한 중심”이 아니다. 운동량 보존은 공간의 균질성을 입자의 운동 언어로 번역한 것이다. 공간 어딘가에 특별한 점이 있어 라그랑지안이 그 점으로부터의 거리에 의존한다면 — 가령 고정된 외부 중력원이 있다면 — 그 방향의 평행이동은 더 이상 대칭이 아니고 그 방향 운동량도 보존되지 않는다. “운동량이 왜 보존되는가”의 답은 “공간이 균질하기 때문”이다.

(b) 회전 — 각운동량 보존. 다이얼을 돌리면 입자가 $\hat n$ 축 둘레로 회전하는 변환. 작은 회전은 $\delta \vec r = \epsilon\, \hat n \times \vec r$ — 회전축 $\hat n$ 과 위치벡터 $\vec r$ 의 외적이 미소 변위 방향이다. 변환 방향 $\xi^i = (\hat n \times \vec r)^i$. 라그랑지안이 이 회전에 불변이라 하자. 뇌터의 $J$ 에 넣으면

$$J = \vec p \cdot (\hat n \times \vec r) = \hat n \cdot (\vec r \times \vec p) = \vec L \cdot \hat n$$

— 중간 등호는 스칼라 삼중곱의 순환 성질 $\vec a \cdot (\vec b \times \vec c) = \vec b \cdot (\vec c \times \vec a)$. $\vec L = \vec r \times \vec p$ 가 각운동량(angular momentum) 이다. 라그랑지안이 $\hat n$ 축 둘레 회전에 불변이면 $\vec L \cdot \hat n$ 이 보존된다.

헷갈리기 쉬운 곳 — 회전 대칭은 공간이 등방(isotropic)이라는 뜻. 평행이동 대칭이 공간의 균질성이었듯, 회전 대칭은 공간의 모든 방향 이 물리적으로 동등하다는 뜻 — 공간이 등방(isotropic) 하다. 균질은 “어느 위치 든 같다”, 등방은 “어느 방향 이든 같다”로 다른 성질이다. 공간을 어느 쪽으로 돌려놓고 실험해도 결과가 같다면 공간은 등방이고 그 등방성이 각운동량 보존을 낳는다. 공간에 특별한 방향이 있다면 — 가령 강한 외부 자기장이 한 방향을 가리킨다면 — 그 방향을 축으로 한 회전만 대칭이고 다른 회전은 깨진다. 각운동량도 그 축 성분만 보존된다. 균질성·등방성·시간 균질성, 이 세 성질이 운동량·각운동량·에너지 보존으로 일대일 대응한다.

(c) 시간 병진 — 에너지 보존. 다이얼을 돌리면 시간 자체가 미끄러지는 변환 $t \to t + \epsilon$. 라그랑지안이 시간에 명시적으로 의존하지 않으면 — $\partial L / \partial t = 0$, 곧 $L$ 의 식 안에 $t$ 가 직접 등장하지 않으면 — 이 시간 평행이동이 대칭이다. (a)와 (b)는 다이얼이 좌표 를 움직였지만 여기서는 시간 매개변수 를 움직이므로 앞의 $J$ 공식을 그대로 쓸 수 없다. 같은 정신을 따라가면 보존량은

$$H = \frac{\partial L}{\partial \dot q^i}\, \dot q^i - L$$

이다. 손으로 확인해 보자. $L$ 이 $t$ 에 명시적으로 의존하지 않을 때 전미분은 $\dfrac{dL}{dt} = \dfrac{\partial L}{\partial q^i}\dot q^i + \dfrac{\partial L}{\partial \dot q^i}\ddot q^i$. 첫 항에 오일러–라그랑주 $\partial L/\partial q^i = \dfrac{d}{dt}(\partial L/\partial\dot q^i)$ 를 대입하면 $\dfrac{dL}{dt} = \dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot q^i}\right)\dot q^i + \dfrac{\partial L}{\partial\dot q^i}\ddot q^i = \dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot q^i}\dot q^i\right)$ — 또 곱의 미분이다. 따라서 $\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot q^i}\dot q^i - L\right) = 0$, 곧 $dH/dt = 0$. $H$ 가 해밀토니안(Hamiltonian) 이고 표준적인 경우 입자의 에너지다.

헷갈리기 쉬운 곳 — $L$ 이 $t$ 에 의존하지 않음 = 시간이 균질 → 에너지 보존. 라그랑지안에 $t$ 가 명시적으로 등장하지 않는다는 것은 시간의 모든 순간이 물리적으로 동등하다 — 곧 시간이 균질(homogeneous) 하다 — 는 뜻이다. 어제 한 실험과 오늘 한 실험과 내일 할 실험이 같은 법칙을 따른다. 에너지 보존이 시간의 균질성을 번역한 것이다. 주의 — 여기서 ”$L$ 이 $t$ 에 의존하지 않는다”는 명시적 의존을 말한다. $L$ 안의 $q(t)$, $\dot q(t)$ 는 당연히 시간에 따라 변하지만 그건 암묵적 의존이라 상관없다. 식의 형태 자체에 $t$ 가 직접 박혀 있느냐 — 가령 시간에 따라 세기가 변하는 외부장의 $\cos(\omega t)$ 같은 항이 있느냐 — 가 기준이다. 그런 항이 있으면 시간 균질성이 깨지고 에너지는 보존되지 않는다. 또 한 가지, (c)의 경우는 변환이 좌표가 아니라 시간을 움직이기 때문에 “라그랑지안의 대칭”이라기보다 작용 범함수(action functional) 의 대칭으로 다루는 편이 깔끔하다. 정식 처리는 다음 장(해밀턴 역학)에서 르장드르 변환으로.

본론 3 — 중심력과 $SO(3)$ 대칭

3차원 입자가 중심력장 안에서 움직이는 라그랑지안

$$L = \tfrac{1}{2}\, m\, |\dot{\vec r}|^2 - U(|\vec r|)$$

을 본다. 위치에너지 $U$ 의 인수가 $\vec r$ 자체가 아니라 그 크기 $|\vec r|$ 뿐이다 — 힘이 원점을 향하고, 그 세기가 원점으로부터의 거리에만 의존한다. 중력장, 정전기장이 모두 이 꼴이다.

이 라그랑지안에 회전 $R \in SO(3)$ 을 가하자. $SO(3)$ 은 3차원 공간의 회전을 모두 모은 모임 — $S$ 는 행렬식 $+1$ (반사 없는 순수 회전), $O$ 는 직교(길이 보존), $3$ 은 3차원. 회전은 길이를 보존하므로 $\vec r$ 을 어떤 회전으로 돌려도 $|\vec r|$ 이 그대로다. $U(|\vec r|)$ 도 그대로. 운동에너지 $|\dot{\vec r}|^2$ 도 마찬가지다. 두 항 모두 불변이니 $L$ 전체가 임의의 회전에 대해 불변이다. 모든 회전이 대칭이라는 것이 중심력 문제의 특별한 점이다. $U$ 가 $|\vec r|$ 이 아니라 $\vec r$ 의 어떤 성분에 — 가령 높이 $z$ 에 — 의존했다면 그 방향을 바꾸는 회전은 깨지고 일부 회전만 대칭으로 남는다.

본론 2의 (b)를 세 독립 방향 에 대해 모두 적용한다. $\hat n = \hat x$ 로 잡으면 $L_x$ 가, $\hat n = \hat y$ 로 잡으면 $L_y$, $\hat n = \hat z$ 로 잡으면 $L_z$ 가 보존된다. 각운동량 벡터 전체가 보존된다.

$$\frac{d\vec L}{dt} = 0, \qquad \vec L = \vec r \times m \vec v$$

헷갈리기 쉬운 곳 — $SO(3)$ 의 3-매개변수성 = 3개 보존량. 뇌터 정리는 “연속 대칭 하나당 보존량 하나”라 했다. 3차원 회전 모임 $SO(3)$ 은 세 개의 독립적인 다이얼 — $x$ 축 둘레 회전각, $y$ 축 둘레, $z$ 축 둘레 — 로 조종된다. 임의의 3차원 회전이 이 셋의 조합이다. 다이얼이 셋이니 한 매개변수 변환도 셋, 뇌터 정리를 각각에 돌리면 보존량이 정확히 셋 $L_x, L_y, L_z$ 다. 이것이 ”$SO(3)$ 은 3-매개변수 군”의 물리적 의미다. 대칭군의 다이얼 개수가 곧 보존량의 개수다. 본론 2 (a)의 공간 평행이동군도 다이얼이 셋이라 운동량 보존량이 셋, (c)의 시간 평행이동군은 다이얼이 하나라 보존량이 하나(에너지)였다.

헷갈리기 쉬운 곳 — $\vec L =$ const 는 벡터 보존 — 크기와 방향 모두. $d\vec L/dt = 0$ 을 ”$|\vec L|$ 이 보존된다”로 좁혀 읽으면 절반만 본 것이다. 보존되는 것은 벡터 $\vec L$ 자체 — 크기뿐 아니라 가리키는 방향 까지 시간에 따라 고정된다. 크기만 보존된다면 $\vec L$ 이 일정한 길이를 유지하며 방향을 바꿀 수 있고 운동이 한 평면에 갇히지 않는다. 화살표의 길이와 방향이 동시에 박제되어 있다는 것이 핵심이다.

여기서 케플러 궤도의 평면성이 따라온다. $\vec L = \vec r \times m\vec v$ 는 정의상 $\vec r$ 에 수직이다 — 외적은 두 인수 모두에 수직. 모든 $t$ 에 대해 $\vec r(t) \cdot \vec L = 0$ 이고, $\vec L$ 이 시간에 따라 변하지 않는 고정된 벡터이므로 이 식은 “위치벡터 $\vec r(t)$ 가 항상 고정된 벡터 $\vec L$ 에 수직”이라는 뜻이다. 고정된 벡터에 수직인 점들의 집합은 그 벡터를 법선으로 하는 원점을 지나는 한 평면 이다. 운동 전체가 그 평면 안에 갇힌다.

헷갈리기 쉬운 곳 — 평면성은 타원성보다 먼저 오는 사실. 케플러 문제에서 “행성 궤도는 타원이다”가 가장 유명한 결론이라 평면 운동이라는 사실은 타원이라는 결론의 부속품처럼 느껴지기 쉽다. 순서가 거꾸로다. 평면성이 먼저 다. 평면성은 회전 대칭 하나 — $\vec L$ 보존 — 에서 곧장 나오고, 위치에너지 $U$ 가 구체적으로 어떤 함수인지는 전혀 필요 없다. $U(r) = -GM/r$ 인 중력이든 $U(r) = \frac{1}{2}kr^2$ 인 용수철이든, 어떤 중심력이든 운동은 평면에 갇힌다. “궤도가 타원”이라는 결론은 $U$ 가 정확히 $1/r$ 꼴일 때만 성립하는 특수한 사실 — $U$ 를 조금만 바꿔도 궤도는 회전하는 장미 모양이 된다. 가장 위에 회전 대칭, 거기서 평면성이 거의 공짜로, 그다음에야 $U$ 의 구체적 형태가 평면 안에서의 궤도 모양을 정한다. 평면성은 대칭의 직접적 산물, 타원성은 그 위에 얹힌 디테일이다.

행성 궤도가 평면 운동이라는 사실 자체가 회전 대칭의 직접적 결과 — 학교에서 “운동은 평면에서 일어난다고 가정하자”라고 슬쩍 넘어갔던 그 가정이, 사실은 가정이 아니라 공간이 등방하다는 사실의 논리적 귀결 이다.

파이썬으로 확인

# 케플러 문제 (m=1, U=-1/r) 에서 각운동량 L = r × v 가 보존되는지를
# 손으로 작성한 RK4 로 적분하면서 확인한다. 상대 표류가 1e-6 미만이면 합격.
import numpy as np

def accel(r):                                  # 만유인력 가속도 (GM=1)
    return -r / np.linalg.norm(r)**3

def rhs(state):                                # 상태 = (r, v) 6차원
    r, v = state[:3], state[3:]
    return np.concatenate([v, accel(r)])

def rk4_step(s, dt):                           # 표준 4차 룽게-쿠타
    k1 = rhs(s)
    k2 = rhs(s + 0.5 * dt * k1)
    k3 = rhs(s + 0.5 * dt * k2)
    k4 = rhs(s + dt * k3)
    return s + dt * (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) / 6

r0 = np.array([1.0, 0.0, 0.0])                 # 초기 위치
v0 = np.array([0.0, 0.9, 0.0])                 # 초기 속도 → 타원 궤도
state = np.concatenate([r0, v0])

dt, T = 0.005, 10.0
N = int(round(T / dt))
checkpoints = {int(round(t / dt)): t for t in (0.0, 2.5, 5.0, 7.5, 10.0)}
L0 = np.linalg.norm(np.cross(r0, v0))          # 초기 |L|

for n in range(N + 1):
    if n in checkpoints:                       # 다섯 지점에서 |L| 출력
        r, v = state[:3], state[3:]
        L = np.linalg.norm(np.cross(r, v))
        drift = abs(L - L0) / L0
        print(f"t={checkpoints[n]:4.1f}  |L|={L:.10f}  rel.drift={drift:.2e}")
    state = rk4_step(state, dt)

accel 은 $GM = 1$ 로 둔 만유인력 가속도 $-\vec r/|\vec r|^3$ — $U = -1/r$ 중심력에서 나오는 가속도. rhs 는 위치와 속도를 묶은 6차원 상태벡터의 시간 변화율, rk4_step 은 표준 4차 룽게–쿠타 한 스텝.

초기 조건 $\vec r_0 = (1, 0, 0)$, $\vec v_0 = (0, 0.9, 0)$ — 원궤도가 되기에는 속도가 조금 모자라 타원 궤도가 그려진다. 두 벡터 모두 $z$ 성분이 0 — 본론 3에서 증명한 대로 초기 위치와 속도가 한 평면($xy$ 평면) 안에 있으면 운동 전체가 그 평면에 갇힌다. $\vec L$ 이 $z$ 축을 향한 채 고정되기 때문이다. 코드는 $dt = 0.005$ 간격으로 $T = 10$ 까지 굴리면서 다섯 시각 $t = 0, 2.5, 5.0, 7.5, 10.0$ 에서 $|\vec L| = |\vec r \times \vec v|$ 를 출력한다. drift 는 초기값 $|\vec L_0|$ 로부터의 상대 편차다.

RK4는 본론 3에서 말한 의미의 “대칭을 보존하도록 설계된” 적분기가 아니라 범용 적분기다. 그런데도 각운동량이 잘 보존되는 것은 RK4가 4차 정확도를 가져 한 스텝당 오차가 $dt^5$ 규모로 매우 작기 때문이다. 다섯 시각 모두에서 $|\vec L|$ 이 초기값과 소수점 여섯 자리 이상 일치한다면 — rel.drift 가 1e-6 미만이라면 — 회전 대칭이 보존법칙으로 옮겨 가는 뇌터의 기계가 종이 위 증명에 그치지 않고 컴퓨터 위에서도 같은 답을 낸다.

다음 장으로

10장: 해밀턴 역학에서는 본론 2 (c) 에서 미뤄 둔 시간 병진 대칭과 에너지 보존을 정식으로 다룬다. 라그랑지안에서 해밀토니안으로 넘어가는 르장드르 변환을 도입하면 위상공간 위의 흐름과 보존량의 그림이 한 번에 깨끗해진다.