미분형식 — 적분의 진짜 주인공

벡터 미적분의 grad·curl·div와 네 개의 적분 정리는, 다양체 위의 $d$ 와 한 줄짜리 스토크스 정리로 통합된다.

들어가며

학부 벡터 미적분 수업에서 우리는 두 묶음의 도구를 따로 외웠다. 미분 연산 세 가지 — 그래디언트 $\nabla f$, 컬 $\nabla \times \vec A$, 다이버전스 $\nabla \cdot \vec B$ — 와 적분 정리 네 가지 — 미적분의 기본정리, 그린 정리, 켈빈–스토크스 정리, 가우스 발산 정리. 일곱 개의 식이 서로 무슨 관계인지 는 아무도 말해 주지 않았다.

이 장은 그 일곱 개를 단 하나로 묶는다. 세 개의 미분 연산은 외미분(exterior derivative — $k$-형식을 $(k+1)$-형식으로 보내는 한 연산) $d$ 의 세 얼굴이고, 네 개의 적분 정리는 스토크스 정리 $\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega$ 의 네 가지 사례다.

도구는 셋이다. 1-형식 — 벡터를 받아 수를 뱉는 측정기. 쐐기곱(wedge product) — 1-형식들을 곱해 면적·부피 측정기를 만드는 반대칭 곱. 외미분 $d$.

본론 1 — 1-형식, 벡터의 짝

등고선 지도 위 한 점에 서서 “여기서 이 방향 으로 한 걸음 가면 고도가 얼마나 오르나?”를 묻는다. 동쪽으로 가면 3미터 오르고, 북쪽으로 가면 1미터 내려간다. “어느 방향으로 한 걸음”이라는 벡터 를 입력하면 “고도가 얼마 변한다”라는 수 가 나온다. 이 입력-출력 기계가 1-형식이다.

1-형식(1-form) $\omega$ 는 한 점에서 벡터 하나를 받아 실수 하나를 돌려주는 선형 사상이다. 두 배 긴 벡터를 넣으면 두 배 큰 수가, 두 벡터의 합을 넣으면 각각의 출력의 합이 나온다. 이 성질 때문에 1-형식은 벡터의 쌍대(dual) 라 불린다. 점 $p$ 에서 벡터들이 사는 공간을 접공간 $T_pM$ 이라 하면, 그 점에서 1-형식들이 사는 공간이 쌍대 공간 $T_p^*M$ — 접공간 위의 모든 선형 사상의 모임이다. 별표(*)는 쌍대를 나타내는 표기 약속이다.

좌표계 $x^1, \ldots, x^n$ 을 잡으면 1-형식에도 표준 기저가 생긴다. 미분 $dx^i$ 를 “벡터의 $i$-번째 성분을 뽑아내는 기계”로 정의한다 — 벡터 $v = (v^1, \ldots, v^n)$ 를 넣으면 $dx^i(v) = v^i$ 가 나온다. 임의의 1-형식은 이 추출기들의 선형결합으로 적힌다(아인슈타인 합 규약).

$$\omega = \omega_i \, dx^i$$

$\omega_i$ 가 위치의 함수면 1-형식 장(field) 이 된다 — 점마다 다른 측정기가 깔린 셈이다. 5장의 벡터장이 “점마다 화살표를 하나씩 깔아 둔 양”이었다면, 1-형식 장은 “점마다 자(尺)를 하나씩 깔아 둔 양”이다. 한쪽은 재어질 대상, 다른 쪽은 재는 도구.

평면에서 $dx$ 는 “동쪽으로 얼마 갔나”만 보고하고 북쪽 성분은 깡그리 무시한다. $dy$ 는 반대로 북쪽 성분만 본다. 화살표 $v = (3, -1)$ 을 넣으면 $dx(v) = 3$, $dy(v) = -1$ 이다. 일반적인 1-형식 $\omega = 2\, dx + 5\, dy$ 는 이 두 추출기에 가중치 2 와 5 를 준 것이라, $\omega(v) = 2 \cdot 3 + 5 \cdot (-1) = 1$ 을 돌려준다.

헷갈리기 쉬운 곳 — 1-형식은 벡터가 아니다, 쌍대 공간에 산다. 1-형식을 성분 $\omega_i$ 로 적고 나면 벡터처럼 보여서 둘을 같은 것으로 취급하기 쉽다. 그러나 벡터는 측정의 대상 — 방향과 크기를 가진 화살표 — 이고, 1-형식은 측정의 도구 — 그 화살표를 받아 수를 내놓는 자(尺) — 다. 같은 점 위에 살지만 서로 다른 공간 $T_pM$ 과 $T_p^*M$ 의 주민이다. 둘을 동일시할 수 있는 것은 계량(내적) 이 추가로 주어졌을 때뿐인데, 그 얘기는 본론 3 끝에서 한다.

가장 익숙한 1-형식의 예가 함수 $f(x, y, z)$ 의 전미분(exact differential) 이다.

$$df = \frac{\partial f}{\partial x}\, dx + \frac{\partial f}{\partial y}\, dy + \frac{\partial f}{\partial z}\, dz$$

$df$ 는 단순한 표기가 아니라 그 자체가 1-형식 이다. 변위 벡터를 꽂으면 함수값의 1차 변화가 나오는 기계. $f$ 가 고도 함수면 $df$ 가 바로 “어느 방향 한 걸음에 고도가 얼마 변하나”를 재는 측정기다. $df$ 의 등위면이 곧 $f$ 의 등고선이고, $df$ 가 가리키는 “가장 큰 출력 방향”이 등고선에 수직인 비탈 방향이다. 전위 $V$ 라면 $dV$ 의 등위면이 등전위면이 된다.

헷갈리기 쉬운 곳 — $dx$ 는 “작은 변화”가 아니라 선형 사상이다. 학부에서 $dx$ 를 ”$x$ 의 무한히 작은 변화량”으로 배웠다면 그 직관을 잠깐 내려놓아야 한다. 미분형식의 $dx$ 는 크기가 작은 무엇 이 아니라, 벡터를 받아 그 첫 성분을 돌려주는 함수 다. 크기 개념이 아예 없다. ”$dx$ 가 작다”는 말은 미분형식의 세계에서는 의미가 없고, 대신 ”$dx$ 는 $v \mapsto v^1$ 이라는 사상이다”가 정확한 진술이다. 적분 기호 안의 $dx$ 와 같은 글자를 쓰는 건 우연이 아니다 — 본론 4에서 그 둘이 어떻게 만나는지 본다.

헷갈리기 쉬운 곳 — $df$ 의 성분이 grad와 같지만, grad는 계량이 있어야 정의된다. $df$ 의 성분 $\partial f / \partial x^i$ 는 그래디언트 $\nabla f$ 의 성분과 글자 그대로 똑같다. 그러나 $df$ 는 1-형식 이라 아무 추가 구조 없이 곧장 정의된다 — 함수를 미분해 성분을 늘어놓으면 끝이다. 반면 $\nabla f$ 는 벡터 이고, 1-형식 $df$ 를 벡터로 바꾸려면 “어느 1-형식이 어느 벡터에 대응하는가”를 정해 주는 계량(내적) 이 필요하다. 직교좌표에서는 계량이 단위행렬이라 둘의 성분이 우연히 같아 보이지만, 극좌표나 곡선좌표로 가면 $df$ 의 성분과 $\nabla f$ 의 성분이 달라진다. $df$ 가 더 근본적이고 $\nabla f$ 는 계량을 한 번 거친 그림자다.

본론 2 — 쐐기곱과 더 높은 차수의 형식

면적은 벡터 두 개 가 만든 평행사변형의 크기, 부피는 벡터 세 개 가 만든 평행육면체의 크기다. “벡터 두 개를 받아 수를 내놓는 측정기”를 만드는 도구가 쐐기곱(wedge product) $\wedge$ 다.

쐐기곱은 1-형식 두 개를 곱해 2-형식을 만들고, 다음 한 줄의 규칙을 따른다.

$$dx \wedge dy = -\, dy \wedge dx, \qquad dx \wedge dx = 0$$

평행사변형의 넓이에는 방향 이 있다. 벡터 $\vec u$ 에서 $\vec v$ 로 도는 평행사변형과, $\vec v$ 에서 $\vec u$ 로 도는 평행사변형은 도는 방향이 반대다. 시계 반대 방향이면 양의 넓이, 시계 방향이면 음의 넓이로 약속하면, 두 벡터의 순서를 바꿀 때 넓이의 부호가 뒤집힌다. 이것이 $dx \wedge dy = -\, dy \wedge dx$ 의 의미다.

$dx \wedge dx = 0$ 은 같은 규칙의 따름정리다. 같은 1-형식을 두 번 쓰면 두 변이 같은 방향 인 평행사변형 — 즉 납작하게 찌부러져 넓이가 0 인 평행사변형 — 을 재는 셈이다. 반대칭 규칙에 $y = x$ 를 넣으면 $dx \wedge dx = -\, dx \wedge dx$, 따라서 $dx \wedge dx = 0$.

헷갈리기 쉬운 곳 — 쐐기곱은 교환법칙이 아니라 반교환법칙을 따른다. 보통의 곱셈은 $3 \times 5 = 5 \times 3$ 이지만 쐐기곱은 순서를 바꾸면 부호가 뒤집힌다. 부호 있는 넓이를 재는데 순서를 바꿔도 부호가 안 바뀐다면 그게 오히려 이상한 일이다. (1-형식끼리는 부호가 뒤집히지만, 차수가 높은 형식끼리는 차수의 곱이 홀수일 때만 부호가 뒤집힌다. 이 장에서는 1-형식 중심으로 다룬다.)

3차원에서 일반적인 2-형식 은 이렇게 적힌다.

$$\omega = P\, dy \wedge dz + Q\, dz \wedge dx + R\, dx \wedge dy$$

세 항이 각각 $yz$-평면, $zx$-평면, $xy$-평면에 대한 부호 있는 넓이 측정기다. 두 벡터 $\vec u, \vec v$ 를 꽂으면, 그 두 벡터가 만든 평행사변형을 세 좌표평면에 정사영한 넓이들에 가중치 $P, Q, R$ 을 곱해 합한 수가 나온다. 2-형식은 평행사변형 넓이 측정기 다.

차수를 올리면 $n$-차원 다양체 위에서 최고 차수 인 $n$-형식이 곧 부피요소다. $n$ 개의 벡터가 만든 평행육면체의 부호 있는 부피를 재는 측정기. 3차원에서 $dx \wedge dy \wedge dz$ 가 부피요소이고, 세 벡터를 꽂으면 그것들이 만든 평행육면체의 부호 있는 부피 — 행렬식과 같은 양 — 가 나온다. 학부에서 적분의 부피요소 $dV$ 를 “작은 부피 조각”이라 막연히 불렀던 것이, 사실은 이 $n$-형식이었다.

$n$차원 공간에서 $k$-형식의 기저는 $dx^1, \ldots, dx^n$ 중 $k$ 개를 골라 쐐기곱한 것들이고, 그 개수는 조합 $\binom{n}{k}$ 다. 3차원이면 0-형식 1개(상수), 1-형식 3개($dx, dy, dz$), 2-형식 3개($dy\wedge dz$ 등), 3-형식 1개($dx\wedge dy\wedge dz$). 1-3-3-1 — 파스칼 삼각형의 한 줄이다. 1-형식과 2-형식의 기저 개수가 똑같이 3 이라는 우연 때문에, 3차원에서만 1-형식과 2-형식을 모두 “벡터”로 뭉뚱그려 볼 수 있었다. 4차원으로 가면 1-형식은 4개, 2-형식은 6개라 그 우연이 깨진다.

헷갈리기 쉬운 곳 — $n$차원에서 $(n{+}1)$-형식은 항상 0이다. $n$차원 공간에서 기저는 $dx^1, \ldots, dx^n$ 단 $n$ 개뿐이다. $(n+1)$-형식을 만들려면 이 $n$ 개 중에서 $n+1$ 개를 골라 쐐기곱해야 하는데, 비둘기집 원리에 의해 반드시 어느 하나는 두 번 쓰게 된다. $dx^i \wedge dx^i = 0$ 이니, 같은 것이 두 번 들어간 쐐기곱은 통째로 0 이다. 평면 안에서는 세 개 의 독립한 방향을 잡을 수 없으니, 평면 위의 “3차원 부피”는 0 일 수밖에 없다.

방향(orientation) 을 형식의 언어로 정의한다. $n$차원 다양체 위에서 어디서도 0 이 되지 않는 최고차 $n$-형식 하나를 고르는 것 — 그것이 방향을 정하는 일이다. 이 $n$-형식이 부호 있는 부피의 기준을 주니, 좌표계를 동원하지 않고도 “이쪽이 양의 부피”를 말할 수 있다.

헷갈리기 쉬운 곳 — 방향은 좌표 없이도 정의된다. 방향은 형식 하나를 고르는 것 으로 좌표와 무관하게 정해진다. 모든 다양체가 방향을 가질 수 있는 것도 아니다. 뫼비우스 띠 가 유명한 반례다. 뫼비우스 띠 위에서 “위쪽”을 정해 한 바퀴 돌면, 출발점으로 돌아왔을 때 “위쪽”이 “아래쪽”으로 뒤집혀 있다. 어디서도 0 이 되지 않는 일관된 최고차 형식을 깔 수가 없다. 이런 다양체를 방향 불가능 하다고 부른다. 본론 4의 스토크스 정리는 다양체가 방향 가능해야 성립한다.

본론 3 — 외미분 $d$ 와 grad·curl·div 통합

외미분(exterior derivative) $d$ 는 $k$-형식을 받아 $(k+1)$-형식을 돌려주는 선형 연산이다. 차수를 하나 올리는 미분.

0-형식(함수) $f$ 에 대해서는 본론 1에서 봤다 — $df = \partial_i f\, dx^i$ 가 1-형식이다. 1-형식 $\omega = \omega_i\, dx^i$ 에 $d$ 를 작용하면, 각 성분함수 $\omega_i$ 를 미분해 $d\omega_i = \partial_j \omega_i\, dx^j$ 를 만들고 거기에 원래 붙어 있던 $dx^i$ 를 쐐기곱으로 잇는다.

$$d\omega = (\partial_i \omega_j)\, dx^i \wedge dx^j = \tfrac{1}{2}\,(\partial_i \omega_j - \partial_j \omega_i)\, dx^i \wedge dx^j$$

$dx^i \wedge dx^j$ 가 반대칭이니, 합산할 때 $\partial_i \omega_j$ 중에서 반대칭 부분만 살아남는다. 쐐기곱의 반대칭성이 자동으로 “회전” — 성분의 비대칭한 변화율 — 을 잡아낸다.

$d$ 의 가장 중요한 성질은 한 줄이다.

$$d^2 = 0$$

증명. 함수 $f$ 에 대해 $d(df) = d(\partial_i f\, dx^i) = (\partial_j \partial_i f)\, dx^j \wedge dx^i$ 인데, 편미분은 순서를 바꿔도 같으니 $\partial_j \partial_i f$ 는 $i, j$ 에 대해 대칭 이고 $dx^j \wedge dx^i$ 는 반대칭 이다. 대칭과 반대칭의 곱을 더하면 0 이다 — 짝마다 부호가 반대인 같은 크기 항이 서로 지워진다. $d^2 = 0$ 은 편미분의 교환성 $\partial_i \partial_j = \partial_j \partial_i$ 를 형식의 언어로 옮긴 것 이다.

3차원에서 이 한 연산 $d$ 가 벡터 미적분의 세 연산을 통째로 통합한다.

입력 형식	$d$ 작용 결과	성분이 곧	벡터 미적분 연산
0-형식 $f$ (함수)	1-형식 $df$	$\partial_i f$	그래디언트 $\nabla f$
1-형식 $A_x dx + A_y dy + A_z dz$	2-형식	$\partial_i A_j - \partial_j A_i$	컬 $\nabla \times \vec A$
2-형식	3-형식	계수의 발산	다이버전스 $\nabla \cdot \vec B$

함수에 $d$ 를 작용하면 그 성분이 그래디언트, 1-형식에 $d$ 를 작용하면 그 성분이 컬, 2-형식에 $d$ 를 작용하면 그 계수가 다이버전스. 학부에서 세 개의 다른 기호 $\nabla f$, $\nabla \times$, $\nabla \cdot$ 로 외웠던 것이, 사실은 차수만 다른 같은 연산 $d$ 였다.

$d^2 = 0$ 은 학부에서 따로 외웠던 두 항등식을 한 번에 말한다. $d(df) = 0$ 을 그래디언트와 컬의 말로 옮기면 $\nabla \times \nabla f = 0$ (“그래디언트의 컬은 0”). 1-형식에 대한 $d(d\omega) = 0$ 을 컬과 다이버전스의 말로 옮기면 $\nabla \cdot (\nabla \times \vec A) = 0$ (“컬의 다이버전스는 0”). 두 항등식 모두 $d^2 = 0$ — 편미분의 교환성 하나에서 나온다.

학부에서 grad·curl·div는 서로 다른 종류의 입출력 을 가진 별개의 연산처럼 보였다. grad는 스칼라를 벡터로, curl은 벡터를 벡터로, div는 벡터를 스칼라로 보낸다. 형식의 언어로 옮기면 셋 다 “$k$-형식을 $(k+1)$-형식으로 보내는” 똑같은 모양의 연산이 된다. 차수라는 눈금을 하나 도입한 대가로, 세 개의 무관해 보이던 연산이 한 사다리의 세 칸으로 정렬된다.

헷갈리기 쉬운 곳 — $d$ 는 계량이 필요 없지만, grad·curl·div는 계량이 필요하다. 외미분 $d$ 는 아무 추가 구조 없이 — 다양체와 좌표만 있으면 — 곧장 정의된다. 반면 grad·curl·div는 벡터를 다루는 연산이라, 1-형식과 벡터를 오가는 계량 이 있어야 정의된다. 곡선좌표나 휘어진 공간으로 가면 grad·curl·div의 공식은 계량 때문에 복잡해지지만 $d$ 의 규칙은 어디서나 그대로다. 계량에 의존하던 세 연산을 계량과 무관한 한 연산으로 끌어올린 것이다.

헷갈리기 쉬운 곳 — 닫힌 형식과 완전 형식은 다르다. $d\omega = 0$ 인 형식을 닫힌(closed) 형식, $\omega = d\eta$ 처럼 무언가의 외미분으로 쓸 수 있는 형식을 완전(exact) 형식이라 부른다. $d^2 = 0$ 때문에 완전 형식은 반드시 닫혀 있다($d\omega = d(d\eta) = 0$). 그 역 — 닫힌 형식이 항상 완전한가 — 은 공간의 모양에 달려 있다. 단순연결인 영역(구멍 없는 영역)에서는 닫힌 형식이 모두 완전하지만, 구멍이 뚫린 영역에서는 닫혀 있어도 완전하지 않은 형식이 존재한다. 물리에서 “회전이 0 인 힘장이 항상 퍼텐셜을 갖는가”라는 질문이 정확히 이 구분이다 — 영역에 구멍이 있으면 답이 “아니오”가 될 수 있다. 닫힌과 완전의 간극이 곧 공간의 위상을 재는 척도이고, 그것을 다루는 분야가 드람 코호몰로지(de Rham cohomology) 다.

본론 4 — 스토크스 정리 한 줄

콤팩트하고 방향이 정해진 다양체 $M$ 과 그 경계 $\partial M$ 에 대해, 임의의 $(\dim M - 1)$-형식 $\omega$ 는 다음을 만족한다.

$$\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega$$

”$M$ 안쪽 에서 $d\omega$ 를 적분한 것”과 ”$M$ 의 경계 에서 $\omega$ 를 적분한 것”이 같다. 미분해서 안쪽 전체를 쓸어 모으나, 미분하지 않고 가장자리만 훑으나 결과가 같다. 직관은 망원 합(telescoping sum) 이다 — 영역을 잘게 쪼개 칸마다 $d\omega$ 를 재면, 이웃한 두 칸이 맞닿은 변에서의 기여는 방향이 반대라 서로 지워진다. 안쪽의 모든 경계가 짝지어 소멸하고, 끝내 지워지지 않는 것은 바깥 가장자리 뿐 — 그 살아남은 가장자리가 $\partial M$ 이다. 이 한 줄이 학부에서 따로 외웠던 네 정리를 모두 포함한다.

$\dim M$	$\omega$	스토크스 정리의 이름
1 (구간 $[a,b]$)	0-형식 $f$	미적분의 기본정리
2 (평면 영역)	1-형식 $P\,dx + Q\,dy$	그린 정리
2 (3차원 속 곡면)	1-형식 $\vec A \cdot d\vec r$	켈빈–스토크스 정리
3 (입체)	2-형식	가우스 발산 정리

• $M$ 이 1차원 구간 $[a, b]$, $\omega = f$ 일 때 → 미적분의 기본정리 $\int_a^b f'\, dx = f(b) - f(a)$. 경계 $\partial [a,b]$ 는 두 점 $\{a, b\}$ 이고, 0차원 다양체 위의 적분은 그냥 값의 합(부호 포함)이다.
• $M$ 이 평면 영역, $\omega = P\, dx + Q\, dy$ 일 때 → 그린 정리 $\iint_M (\partial_x Q - \partial_y P)\, dx\, dy = \oint_{\partial M} (P\, dx + Q\, dy)$.
• $M$ 이 3차원 공간의 2-곡면, $\omega = \vec A \cdot d\vec r$ 일 때 → 켈빈–스토크스 정리 $\iint_M (\nabla \times \vec A) \cdot d\vec S = \oint_{\partial M} \vec A \cdot d\vec r$.
• $M$ 이 3차원 입체, $\omega$ 가 2-형식일 때 → 가우스 발산 정리 $\iiint_M \nabla \cdot \vec B\, dV = \iint_{\partial M} \vec B \cdot d\vec S$.

그린 정리를 손으로 풀어 보자. $\omega = P\, dx + Q\, dy$ 에 외미분을 작용한다.

$$d\omega = dP \wedge dx + dQ \wedge dy = (\partial_x P\, dx + \partial_y P\, dy) \wedge dx + (\partial_x Q\, dx + \partial_y Q\, dy) \wedge dy$$

$dx \wedge dx = 0$, $dy \wedge dy = 0$ 이라 두 항이 죽고, $dy \wedge dx = -\, dx \wedge dy$ 를 쓰면

$$d\omega = \partial_y P\, (dy \wedge dx) + \partial_x Q\, (dx \wedge dy) = (\partial_x Q - \partial_y P)\, dx \wedge dy$$

스토크스 정리 $\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega$ 에 그대로 넣으면, 왼쪽은 $\iint_M (\partial_x Q - \partial_y P)\, dx\, dy$, 오른쪽은 $\oint_{\partial M}(P\, dx + Q\, dy)$ — 정확히 그린 정리다. 쐐기곱의 반대칭성이 $\partial_x Q - \partial_y P$ 라는 익숙한 조합을 자동으로 만들어 냈다.

스토크스 정리에는 $d^2 = 0$ 과 짝을 이루는 쌍대성이 숨어 있다. 경계의 경계는 없다 — 기호로 $\partial^2 = \emptyset$. 입체의 경계는 닫힌 곡면이고, 닫힌 곡면에는 더 이상 경계가 없다. 구간 $[a,b]$ 의 경계는 두 점이고, 점에는 경계가 없다. 한편 형식 쪽에서는 $d^2 = 0$ 이었다. $\int_M d(d\omega)$ 를 생각하면, 한 번 스토크스를 쓰면 $\int_{\partial M} d\omega$ 가 되고 또 한 번 쓰면 $\int_{\partial(\partial M)}\omega$ 가 된다. 왼쪽은 $d^2 = 0$ 이라 0 이고, 오른쪽은 $\partial^2 = \emptyset$ 이라 적분 영역이 비어 0 이다 — 같은 0 을 양쪽에서 본 것이다. $d$ 와 $\partial$ 은 스토크스 정리를 사이에 두고 정확히 쌍대다.

헷갈리기 쉬운 곳 — $\partial M$ 의 방향은 $M$ 의 방향에서 유도된다. $M$ 의 방향이 정해지면 $\partial M$ 의 방향이 자동으로 따라 정해진다 — 흔히 “바깥쪽 법선을 오른손으로 감는 방향” 또는 ”$M$ 을 왼쪽에 두고 도는 방향”으로 약속한다. 그린 정리에서 경계를 시계 반대 방향으로 도는 것도 이 규약의 한 사례다. 방향을 반대로 잡으면 등호가 부호 하나 차이로 깨진다.

헷갈리기 쉬운 곳 — $M$ 이 콤팩트하고 방향 가능해야 한다. 첫째 $M$ 이 콤팩트 해야 한다 — 거칠게 말하면 무한히 뻗어 나가지 않고 가두어져 있어야 한다. 무한 영역에서는 경계에서의 기여가 발산해 등호가 깨질 수 있다. 둘째 $M$ 이 방향 가능 해야 한다 — 뫼비우스 띠 같은 다양체 위에서는 일관된 부피요소를 깔 수 없어 좌변의 적분 자체가 정의되지 않는다. 물리 문제에서 다루는 영역 — 유한한 부피, 유한한 곡면 — 은 대개 이 두 조건을 만족한다.

파이썬으로 확인

# 단위 원판 위에서 그린 정리를 수치로 확인.
# omega = -y dx + x dy  →  d omega = 2 dx ^ dy
# 경계 적분과 영역 적분이 모두 2π 근방이어야 한다.
import numpy as np

# (a) 경계 적분: 단위원을 t in [0, 2π] 로 매개변수화
N = 20000
t = np.linspace(0.0, 2.0 * np.pi, N, endpoint=False)
dt = (2.0 * np.pi) / N
x, y = np.cos(t), np.sin(t)
dxdt, dydt = -np.sin(t), np.cos(t)

# omega(γ'(t)) = (-y)·x'(t) + x·y'(t) = sin^2 t + cos^2 t = 1
integrand_boundary = (-y) * dxdt + x * dydt
line_integral = np.sum(integrand_boundary) * dt

# (b) 영역 적분: d omega = 2 dx ^ dy, 단위 원판 위에서 2·면적 = 2π
M = 2000
xs = np.linspace(-1.0, 1.0, M)
ys = np.linspace(-1.0, 1.0, M)
X, Y = np.meshgrid(xs, ys, indexing="xy")
inside = (X * X + Y * Y) <= 1.0
cell_area = (xs[1] - xs[0]) * (ys[1] - ys[0])
area_integral = 2.0 * np.sum(inside) * cell_area

print(f"∫∂M ω   = {line_integral:.6f}")
print(f"∫M  dω  = {area_integral:.6f}")
print(f"이론값 2π = {2.0 * np.pi:.6f}")

스토크스 정리 $\int_M d\omega = \int_{\partial M}\omega$ 의 가장 단순한 사례 — 단위 원판 위의 그린 정리 — 를 검증한다. 1-형식 $\omega = -y\, dx + x\, dy$ 에 대해 본론 4의 공식 $d\omega = (\partial_x Q - \partial_y P)\, dx \wedge dy$ 에 $P = -y$, $Q = x$ 를 넣으면 $\partial_x Q - \partial_y P = 1 - (-1) = 2$, 즉 $d\omega = 2\, dx \wedge dy$.

(a) 블록은 우변 경계 적분 $\int_{\partial M}\omega$. 단위원의 경계를 $t \in [0, 2\pi]$ 로 매개변수화하고, 곡선의 속도 $(\dot x, \dot y) = (-\sin t, \cos t)$ 에 1-형식 $\omega$ 를 꽂는다. integrand_boundary 가 그 측정값이다 — 매 점에서 경계의 속도 벡터를 $\omega$ 에 넣어 나온 수. 이 경우 그 수는 $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ 로 상수라, 적분하면 둘레 길이 $2\pi$ 가 나온다.

(b) 블록은 좌변 영역 적분 $\int_M d\omega$. $d\omega = 2\, dx \wedge dy$ 이니 단위 원판 위에서 적분하면 $2 \times (\text{원판 넓이}) = 2\pi$. 정사각형 격자를 잘게 깔고 원 안에 든 칸만 골라($x^2 + y^2 \le 1$) 그 넓이에 2 를 곱한다. 두 값 모두 $2\pi \approx 6.2832$ 근방에 떨어진다 — 스토크스 정리의 양변이 수치로 맞아떨어진다. 격자를 조밀하게 할수록 영역 적분 쪽이 천천히 수렴한다. 원의 경계를 정사각형 칸으로 근사하는 데서 오는 오차라, 칸을 잘게 쪼갤수록 줄어든다. $\omega$ 를 $\omega = x\, dy$ 로 바꿔 보면 $d\omega = dx \wedge dy$ 라 영역 적분이 원판 넓이 $\pi$ 그 자체로 나오고, 경계 적분도 같은 값이 된다.

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7장: 라그랑주 역학에서는 이 장의 1-형식과 외미분이 작용 적분 $S = \int L\, dt$ 의 변분을 다루는 데 곧장 쓰인다. 라그랑지안 $L$ 을 위상공간 위의 양으로 보면, 운동방정식의 좌변 $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q} - \frac{\partial L}{\partial q} = 0$ 도 결국은 위상공간의 어떤 1-형식이 닫힌 형식이 된다는 조건의 성분 표현이다.