等方性乱流とエネルギーカスケード

大きな渦が小さな渦にエネルギーを渡し、最終的に粘性がすべてを熱に変える — コルモゴロフの −5/3-5/3 法則と最小渦サイズの正体。

はじめに

本章は本書全体で最も「乱流らしい」絵を描く章である。第1章で挙げた五つの特性 — 拡散性、3次元渦度、散逸 — がどのように一つのシナリオに束ねられるかを示す。本章を読み終えると、読者はコルモゴロフの −5/3-5/3 法則がなぜそのような形になるのかを次元解析だけで説明でき、乱流に「これ以上分裂しない最小の渦」が存在する理由を一行で述べられるようになるはずだ。第10章(DNS)がなぜあれほど高価なのかという問いの輪郭も、ここで先取りされる。

本論 1 — 等方性という理想化

等方性(isotropy) とは、流れの統計量が回転に対して不変であるという性質である。すなわち、座標軸をどの角度に回しても、平均運動エネルギー、分散、相関関数といった統計が変わらない。

現実世界の乱流のほとんどは等方的ではない。煙突から立ち上る煙は縦に伸び、壁の近くでは壁に平行な方向が強く出る。すなわち 大スケールはほぼ常に非等方的である。しかし、渦が小さくなるにつれて、この方向性は忘れられていく傾向がある。

コルモゴロフ(A. N. Kolmogorov, 1903–1987)はこの事実を一つの仮説に格上げした: 小さな渦では統計が局所的に等方である(local isotropy)。これはすべての乱流が最初から等方的だという主張ではなく、「方向情報はカスケードを通って洗い流される」という主張である。この理想化のおかげで、我々は小スケールを普遍的な唯一の絵として扱える。

本論 2 — リチャードソンのカスケード

ルイス・フライ・リチャードソン(L. F. Richardson, 1881–1953)は1922年に一編の詩を残した。散文に訳せば次のような意味になる: 大きな渦は自身の速度を食って生きる小さな渦を抱え、小さな渦はさらに小さな渦を抱え、こうして分子スケールの粘性に届くまで降りていく。

この一文に乱流の絵のすべてが詰まっている。流れに外部からエネルギーが入る場所は常に 大スケールである — ポンプ、翼、風速差。このエネルギーは大きな渦を作り、大きな渦は不安定なので自分より小さな渦に分裂する。その小さな渦も同じ運命をたどる。エネルギーは一方向に、大きい側から小さい側へ流れる。この流れの率を我々は ε\varepsilon (epsilon, 単位質量あたりのエネルギー散逸率) と呼ぶ。単位は m2/s3\text{m}^2/\text{s}^3。

肝心なのは、このカスケードが 局所的 であることだ。ある中間スケール ℓ\ell の渦は、自分より少し大きい渦からエネルギーを受け取り、自分より少し小さい渦にエネルギーを渡す。スケールをジャンプしない。

本論 3 — コルモゴロフの三つの仮説と −5/3-5/3 法則

1941年、コルモゴロフは上の絵を三つの仮説に整理した:

  1. エネルギー注入: 大きな渦が単位質量あたり ε\varepsilon の率でエネルギーを注入する。
  2. 慣性領域(inertial range): 大スケールと小スケールの間にある中間領域では、統計量は ε\varepsilon と波数 kk (wavenumber, 単位は 1/m1/\text{m}、渦サイズの逆数) のみに依存する。粘性 ν\nu (nu, 動粘性係数, 単位 m2/s\text{m}^2/\text{s}) は直接には現れない。
  3. 散逸領域: 十分小さなスケールでは、粘性がついに渦を食い尽くし、運動エネルギーが熱に変わる。

仮説2が最も強力である。慣性領域のエネルギースペクトル E(k)E(k) — 波数 kk の近傍に含まれる単位質量あたりのエネルギー密度 — が ε\varepsilon と kk だけの関数であれば、次元のみで形が決まる。

次元を書き下そう。[E]=m3/s2[E] = \text{m}^3/\text{s}^2、[ε]=m2/s3[\varepsilon] = \text{m}^2/\text{s}^3、[k]=1/m[k] = 1/\text{m}。E∼εakbE \sim \varepsilon^a k^b の両辺の次元を合わせると、a=2/3a = 2/3、b=−5/3b = -5/3 が一意に決まる。したがって

E(k)=C ε2/3k−5/3E(k) = C \, \varepsilon^{2/3} k^{-5/3}

定数 C≈1.5C \approx 1.5 を コルモゴロフ定数 と呼ぶ。この一行が20世紀の乱流研究の最も有名な結果であり、風洞・海洋・大気いずれの測定でも慣性領域のスペクトルの傾きが −5/3-5/3 であることが確認されている。

本論 4 — コルモゴロフ長さ η\eta

カスケードはどこで止まるのか? 渦が小さくなるほど、その渦の局所レイノルズ数 Reℓ=uℓℓ/νRe_\ell = u_\ell \ell / \nu は小さくなる。あるしきい値のサイズで Reℓ∼1Re_\ell \sim 1 になると、粘性が慣性を圧倒し、その渦はもはや分裂できずに熱として散逸する。このサイズを コルモゴロフ長さ η\eta (eta) と呼ぶ。

η\eta もまた次元解析で決まる。ν\nu と ε\varepsilon だけから長さの次元を持つ量はただ一つ:

η=(ν3ε)1/4\eta = \left( \frac{\nu^3}{\varepsilon} \right)^{1/4}

常温の空気 (ν≈1.5×10−5 m2/s\nu \approx 1.5 \times 10^{-5}\,\text{m}^2/\text{s}) で比較的穏やかな乱流 (ε≈10−2 m2/s3\varepsilon \approx 10^{-2}\,\text{m}^2/\text{s}^3) なら η\eta は約 0.4 mm。居間の中で起きる空気の流れも、1 mm 以下の最小渦を抱えていることになる。産業用ガスタービンのように ε\varepsilon がさらに大きい場合は、η\eta はマイクロメートル単位まで下がる。

この数字が次章の冒頭を決める: DNSは格子サイズを η\eta まで縮めなければならない。だからDNSの計算量は ReRe の約3乗で爆発し、産業流れに適用しにくいと言われるのだ。

Pythonで確かめる

# 偽のスペクトルを作り、慣性領域で傾きを測る。
# 結果は -5/3 ≈ -1.667 の近傍になるはず。
import numpy as np

# 波数: 1 ~ 1000 (対数等間隔)
k = np.logspace(0, 3, 200)

# 慣性領域では E ~ k^(-5/3)、
# 粘性散逸領域では指数関数で減衰すると仮定。
eps = 0.01          # エネルギー散逸率 [m^2/s^3]
C = 1.5             # コルモゴロフ定数
E = C * eps**(2/3) * k**(-5/3) * np.exp(-(k / 600)**2)

# 慣性領域だけ切り出して対数対数で直線フィット
mask = (k >= 5) & (k <= 100)
slope, intercept = np.polyfit(np.log10(k[mask]), np.log10(E[mask]), 1)
print(f"慣性領域の傾き = {slope:.3f} (理論値 -1.667)")

# コルモゴロフ長さも確認してみる。
nu = 1.5e-5         # 空気の動粘性係数 [m^2/s]
eta = (nu**3 / eps)**(1/4)
print(f"コルモゴロフ長さ eta = {eta*1e3:.3f} mm")

出力の傾きが −1.667-1.667 近傍に落ち、η\eta が 1 mm 未満で出てくれば、カスケードの二つの核心式を両方とも手で触ったことになる。

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第10章: 直接数値シミュレーション(DNS)では、本章で見た η\eta がなぜ計算コスト爆発の直接の原因になるのかを、格子点数のスケーリングとともに定量的に扱う。カスケードの絵が頭にあれば、DNS・LES・RANSのトレードオフがはるかに鮮明に見えるはずだ。