와도와 와도 방정식 — 난류는 왜 반드시 3차원인가

와도(vorticity)의 정의에서 시작해 와도 방정식의 네 항을 한 줄씩 읽고, 와도 신장 항이 사라지는 2차원 흐름은 왜 난류가 될 수 없는지를 따라간다.

들어가며

3장에서 나비에-스토크스 방정식을 속도 u⃗\vec{u}에 대해 적었다. 이번 장에서는 같은 방정식을 와도 ω⃗\vec{\omega} (오메가)에 대한 형태로 다시 쓴다. 왜 굳이 그러느냐 — 와도 방정식에는 압력 항이 사라지고, 대신 와도 신장(vortex stretching) 이라는 항이 나타나기 때문이다. 이 항 하나가 1장에서 본 난류의 다섯 가지 특성 중 “3차원 와도 변동”과 “작은 스케일로의 에너지 전달”을 동시에 설명한다. 이 장을 끝낸 독자는 “왜 난류는 반드시 3차원이어야 하는가”를 한 줄의 수식으로 말할 수 있어야 한다.

본론 1 — 와도란 무엇인가

와도는 속도장의 회전(curl)이다. ∇\nabla (나블라, 기울기·회전 연산자)를 사용해

ω⃗=∇×u⃗\vec{\omega} = \nabla \times \vec{u}

로 정의한다. 직관적으로는 “유체 입자가 자기 자신을 축으로 얼마나 빠르게 도는가”의 두 배에 해당한다. 강체처럼 회전하는 흐름이면 ω⃗\vec{\omega}는 회전축 방향의 일정한 벡터, 직선으로 흐르는 균일 흐름이면 ω⃗=0\vec{\omega} = 0이다.

텐서 표기(2장)로는

ωi=ϵijk∂uk∂xj\omega_i = \epsilon_{ijk} \frac{\partial u_k}{\partial x_j}

이다. 여기서 ϵijk\epsilon_{ijk} (엡실론 ijk)는 레비-치비타 기호(Levi-Civita symbol) 로, 다음 규칙을 따른다.

  • 순환 순서(123, 231, 312)이면 +1+1
  • 반순환 순서(132, 213, 321)이면 −1-1
  • 두 첨자가 겹치면 00

여섯 가지 경우를 외울 필요는 없다. 중요한 것은 이 기호 하나가 외적(cross product)을 첨자 표기로 깔끔하게 포장한다는 점이다. 예컨대 ω1=∂u3/∂x2−∂u2/∂x3\omega_1 = \partial u_3/\partial x_2 - \partial u_2/\partial x_3이 ϵ123=+1,ϵ132=−1\epsilon_{123}=+1, \epsilon_{132}=-1에서 자동으로 나온다.

본론 2 — 와도 방정식

비압축성(밀도가 일정한)·외력이 없는 흐름의 나비에-스토크스 방정식 양변에 회전을 취하면 압력 항이 소거되고, 다음 식을 얻는다.

∂ωi∂t+uj∂ωi∂xj=ωj∂ui∂xj+ν∂2ωi∂xj∂xj\frac{\partial \omega_i}{\partial t} + u_j \frac{\partial \omega_i}{\partial x_j} = \omega_j \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \nu \frac{\partial^2 \omega_i}{\partial x_j \partial x_j}

네 항을 왼쪽에서 오른쪽으로 한 줄씩 읽는다.

  • ∂ωi/∂t\partial \omega_i / \partial t — 와도의 시간 변화
  • uj ∂ωi/∂xju_j \, \partial \omega_i / \partial x_j — 흐름을 따라 와도가 운반되는 이류(convection)
  • ωj ∂ui/∂xj\omega_j \, \partial u_i / \partial x_j — 와도 신장(vortex stretching)
  • ν ∂2ωi/∂xj∂xj\nu \, \partial^2 \omega_i / \partial x_j \partial x_j — 점성에 의한 확산(viscous diffusion), 여기서 ν\nu (뉴)는 동점성계수(m²/s)

세 번째 항이 이번 장의 주인공이다. 와도 벡터 ω⃗\vec{\omega} 방향으로 속도가 늘어나면(즉 그 방향의 ∂ui/∂xj\partial u_i/\partial x_j가 양수이면) 와도 자체가 증폭된다 — 마치 회전하는 피겨스케이터가 팔을 모아 더 빨리 도는 것과 같다. 이 메커니즘이 큰 와류를 잡아 늘여 가늘게 만들고, 그 결과 더 작은 스케일에 와도 에너지가 쌓인다. 9장에서 다룰 에너지 캐스케이드의 미시적 정체가 바로 이것이다.

본론 3 — 2차원에서는 와도 신장이 사라진다

이제 강제로 2차원인 흐름을 생각해 보자. u⃗=(ux,uy,0)\vec{u} = (u_x, u_y, 0)이고 모든 변수는 zz에 무관하다. 와도를 계산하면 xx, yy 성분이 모두 0이 되어

ω⃗=(0,0,ωz)\vec{\omega} = (0, 0, \omega_z)

뿐이다. 와도 신장 항 ωj ∂ui/∂xj\omega_j \, \partial u_i / \partial x_j에서 ωj\omega_j는 j=3j=3 성분만 살아 있으므로

ωj∂ui∂xj=ωz∂ui∂z=0\omega_j \frac{\partial u_i}{\partial x_j} = \omega_z \frac{\partial u_i}{\partial z} = 0

이 된다. zz로 아무것도 변하지 않기 때문이다.

결과는 결정적이다.

2차원 흐름에서는 와도 신장이 0이므로, 작은 스케일로의 에너지 캐스케이드가 일어나지 않고, 따라서 1장에서 정의한 다섯 가지 의미의 “난류”가 성립하지 않는다.

2차원 흐름도 불규칙하고 확산성이 있을 수 있지만(이를 “2D turbulence”라고 부르는 문헌도 있다), 그 동역학은 작은 스케일이 큰 스케일로 합쳐지는 역캐스케이드(inverse cascade) 이며, 3차원 난류와는 본질적으로 다른 현상이다. 산업 CFD가 항상 3차원 메쉬를 쓰는 이유가 여기 있다.

파이썬으로 확인

가장 간단한 2차원 흐름 u⃗(x,y)=(y,0)\vec{u}(x, y) = (y, 0) (균일 전단)에서 ωz\omega_z를 수치로 계산해 본다. 정답은 ωz=∂uy/∂x−∂ux/∂y=0−1=−1\omega_z = \partial u_y/\partial x - \partial u_x/\partial y = 0 - 1 = -1로, 영역 전체에서 상수다.

import numpy as np

# 100×100 격자, [0, 1]^2 영역
N = 100
x = np.linspace(0.0, 1.0, N)
y = np.linspace(0.0, 1.0, N)
X, Y = np.meshgrid(x, y, indexing="xy")

# 균일 전단 흐름: u_x = y, u_y = 0
u_x = Y
u_y = np.zeros_like(X)

# np.gradient는 (행=y, 열=x) 순서로 미분을 반환
dux_dy, dux_dx = np.gradient(u_x, y, x)
duy_dy, duy_dx = np.gradient(u_y, y, x)

# 와도의 z 성분
omega_z = duy_dx - dux_dy

print(f"omega_z 최솟값 = {omega_z.min():.6f}")
print(f"omega_z 최댓값 = {omega_z.max():.6f}")
print(f"omega_z 평균   = {omega_z.mean():.6f}")

세 값이 모두 −1-1에 가깝게 출력된다. 영역 전체에서 ωz\omega_z가 상수라는 사실은 “전단이 균일하므로 회전의 강도도 어디서나 같다”는 것을 그대로 반영한다. 이 흐름은 와도가 있지만 와도 신장이 없고, 따라서 난류로 진화할 수 없다.

다음 장으로

5장: 레이놀즈 평균과 RANS 방정식에서는 시점을 바꾼다. 지금까지는 순간 속도장 u⃗(x⃗,t)\vec{u}(\vec{x}, t)를 다뤘지만, 실제 산업 응용에서는 평균 흐름과 변동의 분리가 더 유용하다. 와도 신장이 만든 변동을 어떻게 평균 방정식에 다시 집어넣을지 — 이른바 폐쇄 문제(closure problem)의 입구로 들어간다.