나비에–스토크스 방정식 복습 — 두 개의 식, 네 개의 힘

비압축성 유체의 운동을 결정하는 연속 방정식과 운동량 방정식을 한 항씩 풀어 읽고, 점성계수와 레이놀즈 수를 다시 정의한다.

들어가며

2장에서 텐서 표기를 정비했으니, 이제 그 표기로 실제 유체가 어떻게 움직이는지를 말하는 두 개의 방정식을 쓸 수 있다. 이 장이 끝나면 독자는 나비에–스토크스 방정식의 각 항을 손가락으로 짚으며 “이건 가속도, 이건 압력, 이건 점성이 만드는 마찰” 식으로 한국어로 말할 수 있어야 한다. 수식을 외울 필요는 없다 — 각 항이 어떤 물리적 효과를 의미하는지를 기억하는 편이 훨씬 길게 간다.

본론 1 — 질량 보존: 비압축성 유체는 새지 않는다

비압축 가정 아래에서 유체는 어디서도 만들어지지 않고 어디서도 사라지지 않는다. 한 점에서 들어오는 양과 나가는 양이 정확히 같아야 한다. 이것을 벡터 형태로 쓰면

$$\nabla \cdot \vec{u} = 0$$

이다. 여기서 $\vec{u}$ (u-벡터)는 속도장이고, $\nabla \cdot$ (다이버전스)는 “한 점에서의 발산량”을 측정하는 연산자다. 같은 식을 2장에서 도입한 텐서(지표) 표기로 쓰면

$$\frac{\partial u_i}{\partial x_i} = 0$$

이다. $u_i$ (u-아이)는 속도의 $i$번째 성분, $\partial / \partial x_i$ (라운드 x-아이)는 좌표 $x_i$를 따라 변하는 비율을 뜻한다. 반복된 지표 $i$는 합 규약에 의해 $i=1,2,3$에 대해 더해진다. 즉 이 한 줄은 $\partial u_1/\partial x_1 + \partial u_2/\partial x_2 + \partial u_3/\partial x_3 = 0$의 줄임 표기다.

물리적으로는 “어떤 작은 상자를 잡아도, 그 상자로 들어오는 흐름과 나가는 흐름의 차이가 0”이라는 말이다. 비압축 가정이 깨지면(예: 초음속 공기) 이 식 우변에 밀도 변화율 항이 추가되지만, 이 책의 대부분은 물·저속 공기를 다루므로 우변은 끝까지 0이다.

본론 2 — 운동량 방정식: 뉴턴의 F=ma를 유체로 옮긴다

운동량 방정식은 한 줄짜리 뉴턴 제2법칙이다. 비압축성·일정 점성 유체에 대해

$$\frac{\partial u_i}{\partial t} + u_j \frac{\partial u_i}{\partial x_j} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_i} + \nu \frac{\partial^2 u_i}{\partial x_j \partial x_j}$$

좌변은 “유체 입자의 가속도”, 우변은 “그 입자에 작용하는 단위 질량당 힘”이다. 항을 하나씩 읽으면:

• $\partial u_i / \partial t$ — 시간 미분 항. 공간상 한 점에 카메라를 고정해 두었을 때, 그 점에서의 속도가 시간에 따라 변하는 비율. “고정점 가속도”라고 부르자.
• $u_j \, \partial u_i / \partial x_j$ — 대류 항(convective term). $u_j$ 방향으로 흐르는 유체가 그 방향의 속도 변화를 운반해 와서 한 점에 가속도로 나타나는 효과. 합 규약으로 $j=1,2,3$에 대해 더해진다. 비선형성의 근원이며 — 다음 장 이후 줄곧 — 난류를 어렵게 만드는 단 하나의 항이다.
• $-(1/\rho)\, \partial p / \partial x_i$ — 압력 구배 힘. $\rho$ (로, 밀도, kg/m³)는 단위 부피당 질량, $p$ (피, 압력, Pa)는 단위 면적당 힘. 압력이 높은 쪽에서 낮은 쪽으로 유체를 밀어낸다. 음의 부호가 그 방향을 정한다.
• $\nu \, \partial^2 u_i / \partial x_j \partial x_j$ — 점성 확산 항. $\nu$ (뉴, 동점성계수, m²/s)는 잠시 후 정의한다. 같은 지표 $j$가 두 번 나오니 합 규약으로 $\partial^2 u_i / \partial x_1^2 + \partial^2 u_i / \partial x_2^2 + \partial^2 u_i / \partial x_3^2$이다. 이웃한 유체층 사이의 마찰로 속도 차이를 매끄럽게 깎아내는 효과. 1장에서 말한 “확산성”이 바로 이 항에서 나온다.

네 개의 항을 한국어로 다시 외우면 — 고정점 가속도 + 대류 = -압력 + 점성 확산. 이 한 줄을 손으로 한 번 써 보면, 앞으로 나오는 RANS·LES 방정식들이 전부 이 식의 변주임이 보인다.

본론 3 — 점성계수와 레이놀즈 수 다시 보기

점성에는 두 가지 표기가 있다. $\mu$ (뮤, 동력학적 점성계수, Pa·s)는 전단응력과 속도 구배의 비례 상수다. 그러나 운동량 방정식에서 점성이 가속도로 들어올 때는 항상 $\mu / \rho$ 꼴로만 나타나므로, 이 비율에 이름을 붙여 둔 것이 동점성계수

$$\nu = \frac{\mu}{\rho}$$

이다. 단위는 (Pa·s) / (kg/m³) = m²/s. 평이한 말로 옮기면 “동점성계수가 클수록 그 유체는 전단(층 사이의 미끄러짐)에 더 강하게 저항한다.” 물($\nu \approx 10^{-6}\,\mathrm{m^2/s}$)보다 공기($\nu \approx 1.5\times 10^{-5}\,\mathrm{m^2/s}$)가 더 큰 이유는 분자가 가벼워서 같은 점성 효과를 내는 데 더 적은 밀도면 되기 때문이다.

대류 항과 점성 항이 같은 식에 함께 있다는 것은, 어느 쪽이 더 큰지를 한 숫자로 잴 수 있다는 뜻이다. 대표 속도 $U$ (m/s)와 대표 길이 $L$ (m)을 잡으면 대류 항의 크기는 $U^2/L$, 점성 항의 크기는 $\nu U / L^2$이다. 둘의 비가

$$\mathrm{Re} = \frac{U L}{\nu}$$

곧 레이놀즈 수다. 단위를 따라가 보면 $(\mathrm{m/s}) \cdot \mathrm{m} / (\mathrm{m^2/s}) = 1$, 즉 무차원이다. 1장에서 본 결론을 다시 적어 두면 — Re가 크면 대류 항이 점성 항을 압도하고, 점성이 만들어내던 “매끄럽게 깎아내는 효과”가 대류가 만드는 비선형 휘젓기에 따라가지 못한다. 그 결과가 난류다.

파이썬으로 확인

물 20°C의 점성 데이터로 $\nu$를 구한 뒤, 지름 2 cm 관에 초속 1 m/s로 물이 흐를 때 Re를 계산하고 1장의 표로 분류해 본다.

import numpy as np

# 물 20°C의 동력학적 점성계수 mu와 밀도 rho
mu = 1.002e-3        # Pa·s
rho = 998.0          # kg/m^3

# 동점성계수 nu = mu / rho
nu = mu / rho        # m^2/s

# 대표 속도 U와 대표 길이 L (지름 2 cm 관, 보행 속도)
U = 1.0              # m/s
L = 0.02             # m
Re = U * L / nu      # 무차원

# 1장의 경계값으로 흐름 상태를 분류
if Re < 2300:
    state = "층류 (laminar)"
elif Re < 4000:
    state = "천이 (transition)"
else:
    state = "난류 (turbulent)"

print(f"mu  = {mu:.3e} Pa·s")
print(f"rho = {rho:.1f} kg/m^3")
print(f"nu  = {nu:.3e} m^2/s")
print(f"Re  = {Re:.0f}  ->  {state}")

출력은 Re ≈ 19,900 — 4,000을 한참 넘는 명백한 난류 영역이다. 수도꼭지에서 떨어지는 물줄기가 어느 순간 단면 전체로 흩어지는 모습이 바로 이 숫자의 시각적 증거다.

다음 장으로

4장: 와도와 와도 방정식에서는 운동량 방정식의 회전(curl)을 취해 압력 항을 떨어뜨리고, 1장에서 “난류의 핵심”이라 부른 와도 신장이 어떻게 식 안에서 살아나는지 본다. 이 장의 대류 항 $u_j \, \partial u_i / \partial x_j$가 그곳에서 다시 주인공이 된다.