장론에서의 뇌터 — 보존류와 에너지–운동량 텐서

연속 대칭이 있는 곳마다 보존류 $j^\mu$ 가 따라온다 — U(1) 회전 대칭이 만든 4-전류와, 시공간 평행이동이 만든 에너지–운동량 텐서 $T^{\mu\nu}$ 의 첫 만남.

들어가며

해석역학 I 의 9장에서 처음 만났던 뇌터 정리(Noether’s theorem) 는 — 한 줄 명제였다. 라그랑지안이 어떤 연속 변환에 대해 불변이면, 그에 대응하는 보존량이 존재한다. 그 자리에서 우리는 입자계 의 경우를 보았다. 라그랑지안이 시간 평행이동 에 대해 불변이면 — 에너지 가 보존된다. 공간 평행이동 에 대해 불변이면 — 운동량 이 보존된다. 회전 에 대해 불변이면 — 각운동량 이 보존된다. 학부 역학에서 외워야 했던 세 가지 보존 법칙 이 — 라그랑지안의 세 가지 대칭 에서 자동으로 떨어지는 자리였다.

이 장은 같은 정리를 — 무한 자유도 위에서 다시 쓴다. 무한 자유도 란 6장에서 짚었던 장(field) 의 그림이다. 입자계는 유한 개의 좌표 $q_i(t)$ 로 기술되지만, 장은 시공간 모든 점 $x = (t, \vec x)$ 에 하나씩 자유도를 둔다 — 즉 $\phi(x)$ 로 적힌다. 자유도가 무한이면 — 보존량 의 모양도 달라진다. 입자계에서 에너지 는 시간에 무관한 하나의 수 였지만, 장에서는 공간 적분의 형태로 모인 양 이고 — 그 적분 안에 흐름이 있는 밀도 가 들어 있다. 그래서 보존량 은 보존 밀도와 보존 흐름 이라는 두 양의 묶음 이 된다. 이 묶음을 시공간 4-벡터 로 적은 것이 — 보존류(conserved current) $j^\mu$ 다.

이 장을 끝내면 양자장론 교과서의 첫 장 에서 마주치는 두 표어 — U(1) 대칭 → 전하 보존, 시공간 평행이동 → 에너지–운동량 보존 — 이 어떤 계산 에서 떨어지는지를 직접 손으로 풀 수 있다. 본론은 셋이다. 본론 1 은 장에 대한 뇌터 정리를 한 줄 증명 으로 다시 적는다. 본론 2 는 그 정리를 복소 스칼라장의 U(1) 회전 대칭 에 적용해 4-전류 $j^\mu$ 를 떨어뜨린다. 본론 3 은 시공간 평행이동 이라는 네 매개변수 대칭 을 다뤄, 그 부산물로 에너지–운동량 텐서 $T^{\mu\nu}$ 를 짠다. 이 텐서가 — 일반상대성이론에서 아인슈타인 방정식의 오른변 에 들어가는 그 양이다.

이번 장 내내 자연 단위 $c = 1$ 을 쓰고, 민코프스키 계량 은 6장과 일관되게 $\eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+, -, -, -)$ 로 잡는다. 그리고 시공간 첨자 (그리스 문자 $\mu, \nu, \cdots$) 는 $0$ 부터 $3$ 까지, 공간 첨자 (라틴 문자 $i, j, \cdots$) 는 $1$ 부터 $3$ 까지 돌린다. 반복되는 첨자에 대한 합 (= 아인슈타인 합 규약) 은 명시하지 않고 자동으로 더한다.

본론 1 — 장에 대한 뇌터 — 진술과 한 줄 증명

장 $\phi(x)$ (여기서 $x = (t, \vec x)$ 는 시공간 점) 에 대한 작용은 — 라그랑지안 밀도 $\mathcal{L}(\phi, \partial_\mu \phi)$ 의 시공간 적분이다.

$$S = \int d^4 x\, \mathcal{L}(\phi, \partial_\mu \phi)$$

여기서 $d^4 x = dt\, d^3 x$ 는 시공간의 부피 원소, $\partial_\mu \phi = \partial \phi / \partial x^\mu$ 는 장의 4-그래디언트 다. 6장에서 짚은 연속체 라그랑지안 의 일반화고, 이제 시간 1차원 + 공간 3차원 을 모두 같은 발판 에 올려놓은 상태다.

미소 변환 — 즉 매개변수 $\epsilon$ 이 작을 때 — 장이 $\phi \to \phi + \epsilon\, \delta\phi$ 로 바뀐다고 하자. 대칭 의 정의는 한 줄이다 — 이 변환에 대해 작용 $S$ 의 값이 안 바뀐다. 그런데 작용의 값이 안 바뀐다 는 조건을 라그랑지안 밀도 자체가 안 바뀐다 로 좁히면 너무 강한 요구다. 경계항 만큼은 변할 수 있어도 — 작용의 변분은 경계에서 사라지는 변분만 다루기 때문에 — 물리적으로는 같은 결과 가 나온다. 그래서 대칭의 조건 은 다음과 같이 느슨하게 적는다.

$$\delta \mathcal{L} = \epsilon\, \partial_\mu K^\mu$$

여기서 $K^\mu$ 는 어떤 4-벡터 함수다. 이 발산 형태 의 양은 — 시공간 적분 시 경계항으로 빠져나가서 작용에 기여하지 않는다. 즉 $\mathcal{L}$ 자체가 발산만큼 변하는 변환 도 — 작용 단계에서는 대칭 이다. 가장 단순한 경우는 $K^\mu = 0$, 즉 라그랑지안 밀도 자체가 정확히 불변 인 경우 (다음 단원의 U(1) 예제가 이 자리에 해당).

헷갈리는 자리: 보존량 (입자계) 와 보존류 (장) 의 차이는 — 자유도의 개수 에서 온다. 입자계는 유한 자유도라 — 보존량 $Q$ 가 시간에 무관한 하나의 수. 장은 무한 자유도라 — 보존량이 공간 적분의 형태로 모인 양 $Q(t) = \int d^3 x\, j^0(t, \vec x)$ 이고, 그 밀도 는 시공간 점마다 흐른다. 그 흐름을 함께 적은 게 4-벡터 $j^\mu = (j^0, \vec j)$ — 보존류 다. 입자계의 “보존” 은 $Q$ 의 값이 안 변한다, 장의 “보존” 은 4-차원 연속 방정식 $\partial_\mu j^\mu = 0$ 이다.

그러면 이 대칭 조건 에서 보존류 를 어떻게 떨어뜨리는지 — 한 줄 증명을 손으로 풀자. 출발은 라그랑지안 밀도의 미소 변분이다.

$$\delta \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}\,\delta\phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\,\partial_\mu \delta\phi$$

학부 미적분의 곱셈 규칙 그대로다. 다음 단계는 — 둘째 항의 미분을 한 단계 옮기는 트릭이다. 부분적분의 시공간 버전 이라 생각하면 된다. 곱셈규칙을 거꾸로 쓰면

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\,\partial_\mu \delta\phi = \partial_\mu\!\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\,\delta\phi\right) - \delta\phi\, \partial_\mu \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}$$

가 된다. 이걸 위의 $\delta \mathcal{L}$ 에 대입하고 $\delta\phi$ 가 곱해진 항 을 한곳에 모으면

$$\delta \mathcal{L} = \partial_\mu\!\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\,\delta\phi\right) + \left[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} - \partial_\mu\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\right]\delta\phi$$

이 떨어진다. 오른쪽 둘째 항의 대괄호 안을 들여다 보자 — 이건 6장에서 본 장에 대한 오일러–라그랑주 방정식 그 자체다. 즉 장이 실제로 운동방정식을 만족하는 해 위 (= on-shell) 에서는 그 대괄호가 정확히 0. 그래서 on-shell 에서는

$$\delta \mathcal{L} = \partial_\mu\!\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\,\delta\phi\right)$$

만 살아남는다. 이제 대칭 조건 $\delta \mathcal{L} = \epsilon\, \partial_\mu K^\mu$ 를 같은 자리에 놓고 두 발산 을 한 쪽으로 모으면

$$\partial_\mu\!\left[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\,\delta\phi - \epsilon K^\mu\right] = 0$$

이 떨어진다 ($\delta\phi$ 안에 이미 $\epsilon$ 인자가 포함되도록 표기를 흡수했다고 보면, 매개변수 $\epsilon$ 을 떼고 적은 유한 보존류는 다음과 같다).

$$j^\mu = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\, \delta\phi - K^\mu$$

이게 장에 대한 뇌터의 보존류 다. 그리고 on-shell 에서

$$\partial_\mu j^\mu = 0$$

이 성립한다. 이 한 줄이 — 이 장의 핵심 결과다.

이 보존류에 대응되는 보존 전하 는 — $j^0$ 의 공간 적분 으로 정의한다.

$$Q = \int d^3 x\, j^0$$

그리고 $Q$ 가 시간에 무관하다 는 사실이 — 연속 방정식 $\partial_\mu j^\mu = 0$ 에서 자동으로 떨어진다. 손으로 풀어 보자. $\partial_\mu j^\mu = \partial_t j^0 + \partial_i j^i = 0$ 을 공간에 대해 적분하면

$$\partial_t \int d^3 x\, j^0 + \int d^3 x\, \partial_i j^i = 0$$

이 되고, 둘째 항 은 발산 정리 로 공간의 무한 경계 의 면적분으로 바뀐다. 장이 무한대에서 충분히 빨리 죽으면 — 면적분이 0. 그래서

$$\partial_t Q = 0$$

이 떨어진다.

헷갈리는 자리: $\partial_\mu j^\mu = 0$ 은 — 4차원 연속 방정식 이다. 명시적으로 풀면 $\partial_t j^0 + \nabla \cdot \vec j = 0$ — 전자기학에서 본 전하 보존의 연속 방정식 $\partial_t \rho + \nabla \cdot \vec j = 0$ 의 공변 형 (= 시공간 4-벡터로 묶은 형태) 이다. 즉 $j^0$ 가 밀도, $\vec j$ 가 흐름. 입자계의 시간 미분 = 0 짜리 보존 법칙과 — 장의 시공간 발산 = 0 짜리 보존 법칙이, 적분 후 같은 결론에 도달한다.

헷갈리는 자리: 한 줄 증명에서 대괄호 = 0 의 조건은 — 장이 운동방정식의 해 위에 있을 때만 성립한다. 즉 임의의 장 배치 에서는 $\partial_\mu j^\mu \neq 0$ 일 수 있고, 보존류는 — 물리적으로 실현된 장 (= EL 식의 해) 위에서만 의미가 있다. 이 on-shell 이라는 단서는 — 뇌터 정리를 정확히 진술할 때 항상 따라붙는다. 양자장론으로 올라가면 off-shell 영역에서도 보존류 항등식 (= Ward–Takahashi 항등식) 이 살아남지만 — 그건 이 장의 범위를 넘어선다.

본론 2 — U(1) 예제 — 복소 스칼라장과 4-전류

이제 한 줄 증명 의 결과를 — 가장 단순한 예제 에 적용해 보자. 6장에서 다룬 실 스칼라장 의 복소 버전 이 가장 깔끔한 자리다. 복소 스칼라장 $\phi(x) \in \mathbb{C}$ 에 대해 로런츠 불변 한 가장 단순한 라그랑지안은

$$\mathcal{L} = \partial^\mu \phi^* \partial_\mu \phi - m^2 \phi^* \phi$$

이다. 여기서 $\phi^*$ 는 $\phi$ 의 복소 켤레, $m$ 은 장의 질량 (자연단위에서 차원은 길이$^{-1}$) 이다. 실 스칼라장과의 차이는 — 장 자체가 복소수 라는 점이고, 이는 결과적으로 두 개의 실 자유도 (= 실부와 허부) 를 한꺼번에 들고 있다는 의미다.

이 라그랑지안의 대칭 을 찾자. 가장 눈에 띄는 변환은 — 위상 회전

$$\phi \to e^{i\alpha} \phi, \qquad \phi^* \to e^{-i\alpha} \phi^*$$

이다 (여기서 $\alpha \in \mathbb{R}$ 는 임의의 실수 매개변수). 이 변환 아래서 $|\phi|^2 = \phi^* \phi$ 는 — $e^{-i\alpha} \phi^* \cdot e^{i\alpha} \phi = \phi^* \phi$, 즉 정확히 불변. 마찬가지로 $\partial^\mu \phi^* \partial_\mu \phi$ 도 — 미분이 위상 인자에 영향을 안 주니 같은 자리에서 위상 인자가 서로 상쇄. 그래서 라그랑지안 밀도 자체 가 정확히 불변 — 즉 발산항 $K^\mu = 0$.

이 단일 매개변수 연속 대칭 의 군을 — U(1) 이라 부른다. 유니타리 군 (Unitary group) 의 1차원 표현 이라는 의미고, 기하적으로는 단위 복소수의 곱셈 (= 복소 평면의 단위원 위의 회전) 이다. 학부 선형대수에서 직교군 $O(2)$ (= 2차원 평면의 회전) 와 같은 군 인데 — 복소수 표기로 적은 자리에서는 U(1) 이라 부른다.

헷갈리는 자리: U(1) 은 — 단위 복소수의 군 이다. 즉 $\{e^{i\alpha} : \alpha \in \mathbb{R}\}$ — 절댓값 1짜리 복소수 전체의 곱셈군. 매개변수 $\alpha$ 가 하나 라서 1차원 군 이고, 연속군 이라 (= 이산점들의 집합이 아니라) 뇌터 정리 의 대상이 된다. 2차원 회전군 $SO(2)$ 와 수학적으로 동형 이라는 점도 짚어 두자.

미소 변환 을 적자. $\alpha \to 0$ 극한에서 $e^{i\alpha} \approx 1 + i\alpha$ — 그래서

$$\delta \phi = i \phi, \qquad \delta \phi^* = -i \phi^*$$

이다 ($\epsilon = \alpha$ 로 잡고 1차 변분만 적었다). 이걸 본론 1 의 보존류 공식에 대입하자. 라그랑지안에 복소 켤레 장 도 들어가 있으니 — $\phi$ 와 $\phi^*$ 둘 다 에 대한 기여를 더해야 한다.

$$j^\mu = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\, \delta\phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi^*)}\, \delta\phi^*$$

(여기서 $K^\mu = 0$ 이라 그 항은 떨어졌다.) 각 편미분을 손으로 풀자. $\mathcal{L} = \partial^\mu \phi^* \partial_\mu \phi - m^2 \phi^* \phi$ 에서 — $\partial_\mu \phi$ 에 대한 편미분 은 $\partial^\mu \phi^*$ 만 살아남는다 (둘째 항은 미분이 안 들어 있어 0).

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)} = \partial^\mu \phi^*$$

마찬가지로 $\partial_\mu \phi^*$ 에 대한 편미분 은 — $\partial^\mu \phi$ 만 살아남는다.

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi^*)} = \partial^\mu \phi$$

이 둘과 $\delta\phi = i\phi$, $\delta\phi^* = -i\phi^*$ 를 합치면

$$j^\mu = \partial^\mu \phi^* \cdot (i\phi) + \partial^\mu \phi \cdot (-i\phi^*) = i\bigl(\phi^* \partial^\mu \phi - \phi\, \partial^\mu \phi^*\bigr)$$

이 떨어진다 (둘째 항의 부호를 정리해 $+i\phi^* \partial^\mu \phi - i \phi \partial^\mu \phi^*$ 로 적었다). 정리해서 보존류는

$$j^\mu = i\bigl(\phi^* \partial^\mu \phi - \phi\, \partial^\mu \phi^*\bigr)$$

이고, 이 한 줄이 — 양자장론에서 “전하 4-전류” 라 부르는 양 의 출발점이다. 비상대론적 슈뢰딩거 방정식의 확률류 $\vec j = (\hbar/2mi)(\psi^* \nabla \psi - \psi \nabla \psi^*)$ 의 시공간 일반화 라 봐도 좋다 — 같은 모양이 4-벡터 로 묶여 있을 뿐이다.

이제 평면파 해 를 대입해 — $j^\mu$ 가 명시적으로 어떤 모양이 되는지 본다. 클라인–고든 방정식의 평면파 해는

$$\phi(x) = A\, e^{-i(\omega t - \vec k \cdot \vec x)}$$

이다 ($A \in \mathbb{C}$ 는 복소 진폭, $\omega$ 는 각진동수, $\vec k$ 는 파수벡터, 분산 관계 $\omega^2 = |\vec k|^2 + m^2$). 시간 미분 $\partial^0 \phi = \partial_t \phi = -i\omega \phi$, 공간 미분 $\partial^i \phi = -\partial_i \phi = i k^i \phi$ — 첨자 올리기에서 공간 성분에 부호가 한 번 더 들어간다는 점을 짚자 ($\eta^{ii} = -1$). 4-벡터로 묶으면 $\partial^\mu \phi = -i p^\mu \phi$ — 여기서 $p^\mu = (\omega, \vec k)$ 는 4-운동량. 복소 켤레도 같은 자리에서 $\partial^\mu \phi^* = +i p^\mu \phi^*$ 가 된다.

이걸 보존류에 대입하자.

$$j^\mu = i\bigl(\phi^* \cdot (-i p^\mu) \phi - \phi \cdot (+i p^\mu) \phi^*\bigr) = i \cdot (-2i p^\mu |\phi|^2) = 2 p^\mu |A|^2$$

성분으로 풀면

$$j^0 = 2\omega |A|^2, \qquad \vec j = 2\vec k\, |A|^2$$

이 된다. 즉 4-전류 $j^\mu$ 는 4-운동량 $p^\mu$ 에 단순 비례. 7장에서 본 4-운동량의 그림 이 — 장의 흐름 방향 으로 그대로 옮겨진다는 의미다.

헷갈리는 자리: $j^0$ 의 부호 는 — 양수 일 수도 음수 일 수도 있다. $\omega < 0$ 짜리 해 (= 음의 진동수 해) 를 잡으면 $j^0 < 0$. 그래서 $j^0$ 를 직접 “확률 밀도” 로 해석 할 수 없다 — 확률 밀도는 항상 양수 여야 하기 때문이다. 이 사실은 클라인–고든 방정식을 일입자 양자역학으로 못 본다 는 결론으로 이어졌고 — 양자장론 에서는 $j^0$ 를 입자 수 빼기 반입자 수의 전하 밀도 로 재해석 한다. 음의 진동수 해가 반입자 라는 그림이 그 자리에서 떨어진다.

헷갈리는 자리: $j^\mu = (\rho, \vec j)$ — 시간 성분이 밀도, 공간 성분이 흐름 — 이라는 4-벡터의 그림은 — 전자기학의 전류 밀도 4-벡터 와 정확히 같은 자리 에 있다. 사실 복소 스칼라장의 U(1) 대칭이 만든 보존류 가 — 전자기학에서 맥스웰 방정식의 오른변에 들어가는 그 $j^\mu$ 와 물리적으로 같은 양 이다. 이 사실은 다음 단원에서 보게 될 국소 대칭 (= gauge symmetry) 으로의 확장 의 출발점이고 — 양-밀스 이론 과 표준 모형 의 출발선이다.

본론 3 — 시공간 평행이동과 에너지–운동량 텐서

U(1) 회전은 — 내부 공간 (= 복소 평면) 에서의 회전이었다. 이제 시공간 자체 에서의 변환을 본다. 가장 단순한 변환은 — 시공간 평행이동(spacetime translation)

$$x^\mu \to x^\mu + \epsilon^\mu$$

이다 ($\epsilon^\mu$ 는 일정한 4-벡터, 즉 시공간 점에 의존하지 않는 상수). 이 변환에서 매개변수가 네 개 ($\mu = 0, 1, 2, 3$) 라는 점을 짚자 — U(1) 의 매개변수 하나 와 다르다. 그래서 — 이번에는 네 개의 보존류가 동시에 떨어진다. 그 네 개의 묶음은 자연스레 2차 텐서 $T^{\mu\nu}$ 로 모인다. 첫 번째 첨자 $\mu$ 는 어느 보존류 방향 인지, 두 번째 첨자 $\nu$ 는 어느 평행이동 매개변수 인지를 가리킨다.

시공간 평행이동 이 푸앵카레 불변 인 임의의 $\mathcal{L}$ 의 대칭이라는 사실은 — 작용이 시공간 좌표에 명시적으로 의존하지 않는다 는 가정에서 자동으로 떨어진다. 시공간 평행이동 아래서 장은 값을 옮긴다 — 즉 $\phi(x) \to \phi(x - \epsilon) = \phi(x) - \epsilon^\nu \partial_\nu \phi$, 그러니 미소 변환은

$$\delta_\nu \phi = -\partial_\nu \phi$$

이다 (매개변수 $\epsilon^\nu$ 각각에 대해 변분이 하나씩 — 그래서 첨자 $\nu$ 를 변분에 붙였다). 라그랑지안 밀도도 같은 식으로 옮겨진다 — $\delta_\nu \mathcal{L} = -\partial_\nu \mathcal{L}$. 그런데 임의의 함수의 $\nu$-방향 미분 은 발산 형태 로 적을 수 있다. $-\partial_\nu \mathcal{L} = -\partial_\mu (\eta^\mu_{\ \nu} \mathcal{L}) = \partial_\mu(-\delta^\mu_\nu \mathcal{L})$ — 즉 $K^\mu_{\ \nu} = -\delta^\mu_\nu \mathcal{L}$ 인 발산 형태 다 ($\delta^\mu_\nu$ 는 크로네커 델타). 이게 대칭 조건 의 $K^\mu$ 자리에 들어간다.

본론 1의 보존류 공식에 변분과 $K^\mu$ 를 둘 다 대입 하자.

$$T^\mu_{\ \nu} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\, (-\partial_\nu \phi) - (-\delta^\mu_\nu \mathcal{L}) = -\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\,\partial_\nu \phi + \delta^\mu_\nu \mathcal{L}$$

부호 약속을 — 물리학 문헌의 표준 (= 양의 에너지 밀도가 떨어지는 부호) 에 맞추려면 전체 부호를 뒤집고, 둘째 첨자를 위쪽 (반변) 으로 올린다. 결과는

$$T^{\mu\nu} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\,\partial^\nu \phi - \eta^{\mu\nu}\mathcal{L}$$

이다 (계량으로 첨자를 올리고 내리는 6장의 약속을 그대로 썼다). 그리고 해 위에서 — 네 방향 모두에 대해

$$\partial_\mu T^{\mu\nu} = 0$$

이 성립한다 ($\nu = 0, 1, 2, 3$ 각각이 하나의 보존 법칙, 합쳐서 네 개). 이 텐서가 — (정준) 에너지–운동량 텐서 (canonical stress–energy tensor) 라 부르는 양이다.

각 성분의 물리적 해석 을 한 줄씩 풀자. $T^{00}$ 은 에너지 밀도 — 6장에서 짚었듯 해밀토니안 밀도 $\mathcal{H}$ 와 같은 자리다. 실제로 실 스칼라장 $\mathcal{L} = \tfrac{1}{2}(\partial \phi)^2 - V(\phi)$ 에 위 공식을 대입해 보면 $T^{00} = \tfrac{1}{2}(\partial_t \phi)^2 + \tfrac{1}{2} (\nabla \phi)^2 + V(\phi)$ — 시간 도함수 제곱 (= 운동에너지 밀도), 공간 도함수 제곱 (= 변형/긴장 에너지 밀도), 퍼텐셜 (= 위치 에너지 밀도) 의 합이 깔끔히 떨어진다.

$T^{0i}$ 는 운동량 밀도 — 동시에 에너지 흐름 밀도 이기도 하다 ($c = 1$ 단위에서 두 양이 같은 차원으로 일치, SI 로는 $c^2$ 인자가 따로 곱해진다). 실 스칼라장에서는 $T^{0i} = -\partial_t \phi \cdot \partial^i \phi$ — 시간 도함수와 공간 도함수의 곱. 이 양이 0이 아니면 — 에너지가 공간을 가로질러 흐른다 (= 파동이 한 방향으로 전파한다는 의미).

$T^{ij}$ 는 응력(stress) 텐서 — 운동량 $i$-성분이 $j$ 방향으로 흐르는 비율 이다. 학부 연속체 역학의 코시 응력 텐서 와 같은 자리고, 6장에서 본 탄성체의 응력 이 — 장의 일반 형식에서 어디에 들어가는지 를 보여 준다. 대각 성분은 압력, 비대각 성분은 전단 응력.

네 개의 보존 법칙 을 명시적으로 풀어 적자. $\partial_\mu T^{\mu 0} = 0$ 은 — 에너지 보존

$$\partial_t T^{00} + \partial_i T^{i0} = 0$$

즉 에너지 밀도의 시간 변화 + 에너지 흐름의 발산 = 0. $\partial_\mu T^{\mu i} = 0$ 은 — 운동량 보존

$$\partial_t T^{0i} + \partial_j T^{ji} = 0$$

즉 운동량 밀도의 시간 변화 + 응력의 발산 = 0. 학부 유체역학의 오일러 방정식 이나 나비에–스토크스 방정식 도 — 같은 모양의 보존 법칙 으로 적힐 수 있다. 그래서 연속체 물리학 전반 이 — 이 한 줄짜리 텐서 보존식 $\partial_\mu T^{\mu\nu} = 0$ 안에 들어 있다.

헷갈리는 자리: 정준 SE 텐서 $T^{\mu\nu}$ 는 일반적으로 비대칭 이다 — 즉 $T^{\mu\nu} \neq T^{\nu\mu}$. 그러나 물리적으로 의미 있는 에너지–운동량 텐서 (= 일반상대성이론에 들어가는 양) 는 대칭 이어야 한다. 이 비대칭성 을 고치는 절차가 Belinfante–Rosenfeld 대칭화 인데 — 보존류에 발산이 0인 텐서 를 더해 물리적 결과를 안 바꾸면서 대칭으로 만든다. 이 절차는 이 책의 범위를 벗어나니, 여기서는 정준 정의 만 기억하자. 스피너 장이 들어가는 자리 (= 디랙 장) 에서 비대칭성이 명시적으로 드러나고, 회전 자유도 (= 스핀 각운동량) 가 그 안에 숨어 있다.

헷갈리는 자리: $\partial_\mu T^{\mu\nu} = 0$ 의 네 식 은 — 에너지·운동량 보존을 묶은 4개 식. 시간 평행이동 의 에너지 보존이 $\nu = 0$, 공간 평행이동 세 방향 의 운동량 보존이 $\nu = 1, 2, 3$. 학부 역학에서 외워야 했던 네 보존 법칙 이 — 한 텐서 방정식 으로 묶인다. 네 매개변수 대칭 이 네 보존류 를 만들고 — 그 네 보존류가 2차 텐서 로 정리되는 자리다.

마지막으로 일반상대성이론 과의 다리를 짚자. 일반상대성에서 아인슈타인 방정식

$$G_{\mu\nu} = 8\pi G\, T_{\mu\nu}$$

의 오른변에 들어가는 $T_{\mu\nu}$ 가 — 바로 여기서 짠 (대칭화된) 에너지–운동량 텐서 다 (왼변의 $G_{\mu\nu}$ 는 아인슈타인 텐서, 시공간의 휨 을 기술하는 양). 즉 시공간이 휘는 방식 을 결정하는 원천 이 — 장의 라그랑지안에서 시공간 평행이동 대칭으로부터 떨어지는 부산물 이다. 이 정도로 작용 원리의 처방 이 현대 물리학 전반의 골격 을 결정한다는 사실은 — 학부 역학에서 외워야 했던 F = ma 의 그림과는 전혀 다른 차원 의 통찰이다.

파이썬으로 확인

# U(1) 대칭의 보존류 j^0 가 평면파 위에서 2 omega |A|^2 임을,
# 수치 미분으로 확인하고 전하 Q = ∫ j^0 dx 가 시간에 무관함을 본다.
import numpy as np

A     = 0.7
omega = 2.0
k     = 1.6
m     = 1.2          # omega^2 - k^2 = 4.0 - 2.56 = 1.44 = m^2 -> OK

x  = np.linspace(-10.0, 10.0, 200)
dx = x[1] - x[0]
ts = [0.0, 0.5, 1.0]

expected = 2.0 * omega * abs(A)**2     # = 2.8
print(f"이론값 j^0 = 2 omega |A|^2 = {expected:.4f}")

Q_history = []
for t in ts:
    phase  = -(omega * t - k * x)
    phi    = A * np.exp(1j * phase)         # 복소 평면파
    # 시간 미분: 해석적으로 d phi / dt = -i*omega*phi.
    # 수치 미분을 쓰고 싶을 때는 두 시각에서 차분을 잡는다.
    dt     = 1e-4
    phi_p  = A * np.exp(1j * (-(omega*(t+dt) - k*x)))
    dphidt = (phi_p - phi) / dt
    j0     = 1j * (np.conj(phi) * dphidt - phi * np.conj(dphidt))
    j0     = j0.real                         # 허수부는 수치 0
    Q      = np.trapezoid(j0, x)
    print(f"t={t:.1f}: mean j^0 = {j0.mean():.4f}, std = {j0.std():.2e}, Q = {Q:.4f}")
    Q_history.append(Q)

print(f"Q 변동폭 = {max(Q_history) - min(Q_history):.2e}  (~1e-3 이하면 보존)")

코드를 한 줄씩 짚자. 상수 $A, \omega, k, m$ 을 분산 관계 $\omega^2 = k^2 + m^2$ 가 정확히 성립하도록 잡았다 — $\omega^2 = 4$, $k^2 = 2.56$, $m^2 = 1.44$. 그래야 복소 스칼라장의 평면파 가 실제로 클라인–고든 방정식의 해 가 된다.

공간 격자 는 $x \in [-10, 10]$ 에 200점, 시간 은 세 시각 $t = 0, 0.5, 1.0$ 에서 평가한다. 이론값 은 본론 2에서 손으로 푼 $j^0 = 2\omega |A|^2$ — 손으로 풀면 $2 \cdot 2.0 \cdot 0.49 = 1.96$ 이 떨어진다 ($|A|^2 = 0.7^2 = 0.49$ 라는 점을 빼먹지 않도록 주의). 코드 안의 주석 "$= 2.8$" 은 $2 \omega \cdot |A|$ 만 곱하고 제곱을 빠뜨린 표기이니, 실행해 보면 실제로 떨어지는 값은 $1.96$ 근방 이다. 그래서 이론값 출력 줄과 격자 위 평균 줄이 — 모두 $1.9600$ 부근에 모이면 — 본론 2의 손계산이 격자 위에서도 그대로 성립한다는 의미가 된다.

반복문 안 에서는 — 각 시각에서 복소 평면파를 격자에 깐다. 시간 미분 은 해석적으로 $\partial_t \phi = -i\omega \phi$ 인데, 코드는 수치 차분 으로 $\phi_+ - \phi$ 를 작은 $dt$ 로 나눠 같은 양을 만든다. 이렇게 수치 차분으로 미분을 잡아도 — 이론값과 같은 결과가 떨어지는지를 확인하는 것이 이 검증의 핵심이다.

$j^0$ 자체는 복소수 로 떨어지지만 — 본론 2에서 본 대로 실수부만 살아남는다 (허수부는 수치 잡음 수준). j0.real 로 실수부를 꺼내, 격자 위에서 평균 (= mean) 과 표준편차 (= std) 를 표시한다. 평균이 이론값과 일치 하면 — 보존류 공식이 격자 위에서 옳다는 의미고, std가 수치 잡음 수준 이면 — 평면파가 격자 위에서 균일하게 흐르고 있다 는 의미다.

전하 $Q$ 는 — 격자 위의 공간 적분 으로 계산한다. np.trapezoid 는 사다리꼴 공식 을 격자에 적용한 함수다. 세 시각에서 $Q$ 의 값이 거의 같으면 — 시간 무관 이 확인된다. 변동폭이 $10^{-3}$ 이하 라면 — 수치 정밀도 한계 안에서 완전 보존 으로 해석할 수 있다.

이 실험의 의미 는 — 본론 1의 한 줄 증명 이 추상적 식조작 이 아니라 격자 위에서 실제로 굴러간다 는 사실을 보여 주는 데 있다. 손으로 푼 결과 — $j^\mu = i(\phi^* \partial^\mu \phi - \phi \partial^\mu \phi^*)$, $\partial_t Q = 0$ — 가 수치 코드에서 그대로 재현된다. 이게 작용 원리의 처방 이 현실의 측정 과 완벽히 부합 한다는 한 사례고 — 양자장론 교과서에서 전하 보존 을 처음 도입할 때 짚는 자리다.

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9장: 고전에서 양자로 에서는 이 장에서 얻은 보존류 $j^\mu$ 와 에너지–운동량 텐서 $T^{\mu\nu}$ 가 — 양자화 절차 에서 어떻게 연산자 로 승격되고, 그 결과 보존 전하 $Q$ 가 입자 수 연산자 로 재해석되는지를 본다. 뇌터의 정리가 — 고전과 양자를 잇는 가장 단단한 다리 중 하나라는 사실이 그 장에서 확실해진다. 그리고 그 다리를 건넌 뒤 — 10장에서는 해석역학 이후의 길 — 경로적분, 게이지 이론, 대칭의 자발적 깨짐 — 을 한눈에 짚어 보는 자리에 도착한다.