대칭성과 보존 — 뇌터 정리

라그랑지안이 어떤 연속 변환에 대해 불변이면, 그 변환 하나당 궤적을 따라 보존되는 양이 정확히 하나씩 떨어진다.

들어가며

지금까지 우리는 라그랑지안 L(q,q˙,t)L(q, \dot q, t) 에서 오일러–라그랑주 방정식을 뽑고, 그것이 다양체 위 벡터장의 흐름이라는 사실을 보았다. 이번 장은 그 라그랑지안이 가진 대칭성이 곧 보존량을 낳는다는 한 줄의 정리 — 에미 뇌터(Emmy Noether, 1882–1935)의 1918년 결과 — 를 다룬다. 이 장을 끝내면 독자는 운동량·각운동량·에너지 보존이 모두 같은 기계장치에서 떨어져 나오는 한 가족이라는 사실을 한 단락으로 설명할 수 있어야 하고, 중심력 문제의 평면성처럼 “왜 그렇게 되는지” 답하기 어려웠던 사실들이 대칭성이라는 한 단어로 정리되는 경험을 하게 된다.

본론 1 — 뇌터 정리

배위공간 좌표 q=(q1,…,qn)q = (q^1, \ldots, q^n) 위에서, 한 매개변수 변환(one-parameter transformation) 을

qi→qi+ϵ ξi(q)q^i \to q^i + \epsilon\, \xi^i(q)

으로 둔다. 여기서 ϵ\epsilon (epsilon) 은 작은 실수 매개변수, ξi(q)\xi^i(q) (xi) 는 매끄러운 성분함수다. 이 변환이 라그랑지안의 대칭(symmetry) 이라는 뜻은, 일차항까지

δL=L(q+ϵξ,q˙+ϵξ˙,t)−L(q,q˙,t)=0+O(ϵ2)\delta L = L(q + \epsilon\xi, \dot q + \epsilon\dot\xi, t) - L(q, \dot q, t) = 0 + O(\epsilon^2)

가 성립한다는 것이다. 여기서 ξ˙i=(∂ξi/∂qj) q˙j\dot\xi^i = (\partial \xi^i / \partial q^j)\, \dot q^j.

뇌터 정리: 이때 다음 양

J=∂L∂q˙i ξi(q)J = \frac{\partial L}{\partial \dot q^i}\, \xi^i(q)

는 오일러–라그랑주 방정식의 해 위에서 시간에 대해 상수다. 즉 dJ/dt=0dJ/dt = 0.

증명 스케치는 한 문단이면 충분하다. δL\delta L 을 일차까지 전개하면

δL=∂L∂qi ϵξi+∂L∂q˙i ϵξ˙i\delta L = \frac{\partial L}{\partial q^i}\, \epsilon \xi^i + \frac{\partial L}{\partial \dot q^i}\, \epsilon \dot\xi^i

가설에 의해 좌변은 0. 우변의 첫 항에서 오일러–라그랑주 방정식 ∂L/∂qi=d/dt(∂L/∂q˙i)\partial L / \partial q^i = d/dt(\partial L / \partial \dot q^i) 을 궤적 위(on-shell)에서 대입하고, 두 번째 항과 합치면 곱의 미분이 된다. 정리하면 ϵ⋅dJ/dt=0\epsilon \cdot dJ/dt = 0, 즉 JJ 는 보존된다. 대칭 → 보존의 기계는 이 한 줄이 전부다.

본론 2 — 세 가지 고전적 예

같은 정리가 익숙한 보존법칙들을 한꺼번에 떨어뜨린다.

(a) 공간 병진 x⃗→x⃗+ϵn^\vec x \to \vec x + \epsilon \hat n. 자유입자나 닫힌 다입자계처럼 라그랑지안이 절대 위치 x⃗\vec x 에 의존하지 않는 경우, ξi=n^i\xi^i = \hat n^i. 뇌터의 JJ 는 J=(∂L/∂x˙i) n^i=p⃗⋅n^J = (\partial L / \partial \dot x^i)\, \hat n^i = \vec p \cdot \hat n, 즉 n^\hat n 방향 선운동량(linear momentum) 이 보존된다. 세 독립 방향을 잡으면 p⃗\vec p 전체가 보존된다.

(b) n^\hat n 축 둘레의 회전. 작은 회전은 δr⃗=ϵ n^×r⃗\delta \vec r = \epsilon\, \hat n \times \vec r, 즉 ξi=(n^×r⃗)i\xi^i = (\hat n \times \vec r)^i. 뇌터의 JJ 는

J=p⃗⋅(n^×r⃗)=n^⋅(r⃗×p⃗)=L⃗⋅n^J = \vec p \cdot (\hat n \times \vec r) = \hat n \cdot (\vec r \times \vec p) = \vec L \cdot \hat n

여기서 L⃗=r⃗×p⃗\vec L = \vec r \times \vec p 가 각운동량(angular momentum). 라그랑지안이 n^\hat n 축 둘레의 회전에 대해 불변이면 L⃗⋅n^\vec L \cdot \hat n 이 보존된다.

(c) 시간 병진 t→t+ϵt \to t + \epsilon. 라그랑지안이 시간에 명시적으로 의존하지 않으면 (∂L/∂t=0\partial L / \partial t = 0), 정확히 동일한 논리는 안 되지만 같은 정신을 따라 가면

H=∂L∂q˙i q˙i−LH = \frac{\partial L}{\partial \dot q^i}\, \dot q^i - L

가 보존됨을 얻는다. 이 HH 가 해밀토니안(Hamiltonian), 표준적인 경우 입자의 에너지다. 이 경우는 변환이 좌표가 아니라 시간 매개변수를 바꾸기 때문에 “라그랑지안의 대칭”이라기보다 작용 범함수(action functional) 의 대칭으로 다루는 편이 깔끔하다. 정식 처리는 다음 장(해밀턴 역학)으로 미룬다.

본론 3 — 중심력과 SO(3)SO(3) 대칭

3차원 입자가 중심력장 안에서 움직이는 라그랑지안

L=12 m ∣r⃗˙∣2−U(∣r⃗∣)L = \tfrac{1}{2}\, m\, |\dot{\vec r}|^2 - U(|\vec r|)

을 보자. UU 가 ∣r⃗∣|\vec r| 에만 의존하므로, r⃗\vec r 을 어떤 회전 R∈SO(3)R \in SO(3) 으로 돌려도 ∣r⃗∣|\vec r| 과 ∣r⃗˙∣2|\dot{\vec r}|^2 이 그대로다. 즉 LL 은 임의의 회전에 대해 불변이다. 본론 2 의 (b) 를 n^\hat n 의 세 독립 선택에 대해 적용하면, 각운동량 세 성분이 모두 보존된다.

dL⃗dt=0,L⃗=r⃗×mv⃗\frac{d\vec L}{dt} = 0, \qquad \vec L = \vec r \times m \vec v

이 한 줄에서 케플러 궤도의 평면성이 따라온다. L⃗\vec L 은 일정한 벡터이므로, 모든 시각 tt 에 대해 r⃗(t)⋅L⃗=0\vec r(t) \cdot \vec L = 0 — 즉 운동은 L⃗\vec L 에 수직인 한 평면 안에 갇힌다. 행성 궤도가 타원이라는 사실보다도 먼저, 평면 운동이라는 사실 자체가 회전 대칭의 직접 결과다.

파이썬으로 확인

# 케플러 문제 (m=1, U=-1/r) 에서 각운동량 L = r × v 가 보존되는지를
# 손으로 작성한 RK4 로 적분하면서 확인한다. 상대 표류가 1e-6 미만이면 합격.
import numpy as np

def accel(r):                                  # 만유인력 가속도 (GM=1)
    return -r / np.linalg.norm(r)**3

def rhs(state):                                # 상태 = (r, v) 6차원
    r, v = state[:3], state[3:]
    return np.concatenate([v, accel(r)])

def rk4_step(s, dt):                           # 표준 4차 룽게-쿠타
    k1 = rhs(s)
    k2 = rhs(s + 0.5 * dt * k1)
    k3 = rhs(s + 0.5 * dt * k2)
    k4 = rhs(s + dt * k3)
    return s + dt * (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) / 6

r0 = np.array([1.0, 0.0, 0.0])                 # 초기 위치
v0 = np.array([0.0, 0.9, 0.0])                 # 초기 속도 → 타원 궤도
state = np.concatenate([r0, v0])

dt, T = 0.005, 10.0
N = int(round(T / dt))
checkpoints = {int(round(t / dt)): t for t in (0.0, 2.5, 5.0, 7.5, 10.0)}
L0 = np.linalg.norm(np.cross(r0, v0))          # 초기 |L|

for n in range(N + 1):
    if n in checkpoints:                       # 다섯 지점에서 |L| 출력
        r, v = state[:3], state[3:]
        L = np.linalg.norm(np.cross(r, v))
        drift = abs(L - L0) / L0
        print(f"t={checkpoints[n]:4.1f}  |L|={L:.10f}  rel.drift={drift:.2e}")
    state = rk4_step(state, dt)

다섯 시각 모두에서 ∣L⃗∣|\vec L| 이 초기값과 소수점 여섯 자리 이상 일치한다면, 회전 대칭이 보존법칙으로 옮겨 가는 뇌터의 기계가 컴퓨터 위에서도 정확히 같은 답을 낸다는 뜻이다.

다음 장으로

10장: 해밀턴 역학에서는 본론 2 (c) 에서 미뤄 둔 시간 병진 대칭과 에너지 보존을 정식으로 다룬다. 라그랑지안에서 해밀토니안으로 넘어가는 르장드르 변환을 도입하면, 위상공간 위의 흐름과 보존량의 그림이 한 번에 깨끗해진다. 뇌터 정리는 거기서 푸아송 괄호와 다시 만난다.