라그랑주 역학 — TMTM 위의 함수가 운동을 결정한다

운동방정식을 힘의 균형이 아니라 하나의 함수 L:TM→RL: TM \to \mathbb{R} 에서 끌어내는 시점 전환 — 점과 속도의 짝 위에서 정의된 라그랑지안과 오일러–라그랑주 방정식.

들어가며

뉴턴의 운동방정식은 점에서 점으로의 가속도를 다룬다. 라그랑주의 시점은 한 단계 위에 선다 — 운동 전체가 하나의 함수 LL 에서 떨어지는 그림이다. 이 장에서는 LL 이 살고 있는 무대인 접다발(tangent bundle) TMTM 의 정의를 짧게 잡고, 거기서 정의된 라그랑지안으로부터 오일러–라그랑주 방정식을 받아 적은 뒤, 그것을 단진자 하나에 손으로 적용한다. 이 장이 끝나면 독자는 "L=T−UL = T - U" 라는 익숙한 표현 뒤에 어떤 기하 구조가 깔려 있는지 한 문장으로 말할 수 있어야 하고, 같은 운동방정식이 8장에서 변분원리로부터 어떻게 떨어지는지에 대한 자리를 마음속에 비워둘 수 있다.

본론 1 — 왜 LL 은 TMTM 위에 사는가

지난 장들에서 짧게 등장했던 접다발을 한 줄로 정의하자. 점 qq 와 그 점에서의 속도 벡터 vv 의 짝 (q,v)(q, v) 전체가 만드는 공간이 접다발 TMTM 이다. 기호로 쓰면

TM={(q,v):q∈M, v∈TqM}TM = \{(q, v) : q \in M, \ v \in T_q M\}

이고, 풀어 쓰면 “구성공간 MM 위의 모든 점 + 그 점에서 가능한 모든 속도”의 짝을 모은 다양체다. 좌표로는 (q1,…,qn,q˙1,…,q˙n)(q^1, \ldots, q^n, \dot q^1, \ldots, \dot q^n) 인 2n2n 차원 공간이 된다 — 여기서 q˙i\dot q^i 는 시간 미분이 아니라 속도 슬롯의 이름이라는 점에 주의한다. 운동의 궤적 q(t)q(t) 를 가지고 있으면 (q(t),q˙(t))(q(t), \dot q(t)) 가 TMTM 위의 곡선이 된다.

라그랑지안은 이 접다발 위에 정의된 실함수다:

L:TM→R,(q,q˙)↦L(q,q˙)L : TM \to \mathbb{R}, \qquad (q, \dot q) \mapsto L(q, \dot q)

대부분의 역학 문제에서는 라그랑지안이 운동에너지에서 퍼텐셜에너지를 뺀 형태로 적힌다:

L(q,q˙)=T(q,q˙)−U(q)L(q, \dot q) = T(q, \dot q) - U(q)

여기서 TT 는 운동에너지, UU 는 위치만의 함수인 퍼텐셜에너지다. 그러나 라그랑주 형식 자체는 이 분해를 강요하지 않는다 — 전자기장 속의 하전 입자나 회전계처럼 LL 이 위의 모양에 들어맞지 않는 경우도 같은 식으로 다룰 수 있다.

운동에너지 TT 는 MM 위의 계량 gij(q)g_{ij}(q) 로부터 만들어진다. 좌표가 휘어 있는 일반 다양체에서 두 속도 벡터의 “길이의 제곱”을 정의하는 도구가 계량이며, 한 점에서의 운동에너지는

T(q,q˙)=12 gij(q) q˙iq˙jT(q, \dot q) = \tfrac{1}{2} \, g_{ij}(q) \, \dot q^{i} \dot q^{j}

이다 (아인슈타인 합 규약 사용). 카르테시안 좌표에서는 gij=m δijg_{ij} = m \, \delta_{ij} 이라서 익숙한 12m∣x⃗˙∣2\tfrac{1}{2} m |\dot{\vec x}|^2 로 돌아간다. 극좌표나 일반 좌표에서는 gijg_{ij} 가 좌표에 따라 달라지기 때문에 TT 도 qq 에 의존하게 된다. 그래서 LL 의 자연스러운 정의역이 MM 이 아니라 TMTM 인 것이다 — 라그랑지안은 “어디에 있고, 얼마나 빨리 움직이는가”를 동시에 봐야 한다.

본론 2 — 오일러–라그랑주 방정식과 단진자

이제 라그랑지안으로부터 운동방정식을 끌어내는 한 줄을 받아 적자. 오일러–라그랑주 방정식(Euler–Lagrange equation):

ddt∂L∂q˙i−∂L∂qi=0\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q^{i}} - \frac{\partial L}{\partial q^{i}} = 0

각 일반좌표 qiq^i 마다 한 줄씩, 따라서 자유도가 nn 인 계에서는 nn 개의 2계 미분방정식이 떨어진다. 이 식이 어떻게 변분원리로부터 자연스럽게 나오는지는 다음 장(8장)으로 미룬다 — 이 장에서는 식을 도구로 쓰는 데 집중한다.

손으로 한번 굴려본다. 길이 ℓ\ell (ell) 의 가벼운 막대 끝에 질량 mm 이 매달린 단진자를 잡자. 일반좌표는 연직선과의 각도 하나, q=θq = \theta (theta) 다. 위치는 (ℓsin⁡θ,−ℓcos⁡θ)(\ell \sin\theta, -\ell\cos\theta) 이므로 속도의 제곱은 ℓ2θ˙2\ell^2 \dot\theta^2, 운동에너지는

T=12mℓ2θ˙2T = \tfrac{1}{2} m \ell^2 \dot\theta^2

퍼텐셜은 연직 아래를 기준으로 잡으면 U(θ)=−mgℓcos⁡θU(\theta) = -m g \ell \cos\theta. 따라서 라그랑지안은

L(θ,θ˙)=12mℓ2θ˙2+mgℓcos⁡θL(\theta, \dot\theta) = \tfrac{1}{2} m \ell^2 \dot\theta^2 + m g \ell \cos\theta

이다. 두 편미분을 계산하면

∂L∂θ˙=mℓ2θ˙,∂L∂θ=−mgℓsin⁡θ\frac{\partial L}{\partial \dot\theta} = m \ell^2 \dot\theta, \qquad \frac{\partial L}{\partial \theta} = -m g \ell \sin\theta

이고, 오일러–라그랑주 방정식에 대입하면

mℓ2θ¨+mgℓsin⁡θ=0⟺θ¨=−gℓsin⁡θm \ell^2 \ddot\theta + m g \ell \sin\theta = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \ddot\theta = -\frac{g}{\ell} \sin\theta

가 떨어진다. 뉴턴의 방법으로 자유물체도를 그려 얻는 식과 정확히 같다 — 다만 장력이라는 구속력은 한 번도 등장하지 않았다. 일반좌표를 잡는 순간 구속은 식에서 사라진다.

본론 3 — 두 개의 보상: 좌표 무관성과 가산성

오일러–라그랑주 형식이 주는 가장 큰 보상은 두 가지다.

첫째, 좌표에 대한 무관성이다. 같은 물리계를 데카르트 좌표로 풀든 극좌표로 풀든 구면좌표로 풀든, LL 의 함수적 의미(같은 점, 같은 속도, 같은 숫자)만 보존되면 오일러–라그랑주 방정식의 형태는 변하지 않는다. 식 안의 qiq^i 자리에 어떤 좌표를 꽂든 항상 같은 한 줄을 적게 된다. 뉴턴의 식은 mx¨i=Fim \ddot x^i = F^i 의 모양이 곡선 좌표에서 무너지지만 (Γ\Gamma 가 끼어든다), 라그랑주 식은 그 보정이 이미 LL 안에 흡수되어 있다.

둘째, 가산성이다. 두 부분계가 합쳐서 하나의 계를 이룰 때, 전체 라그랑지안은

L=L1+L2+LintL = L_1 + L_2 + L_{\rm int}

처럼 깔끔하게 부분의 합 + 상호작용 항으로 쪼개진다. L1,L2L_1, L_2 는 각 부분계만의 라그랑지안이고, LintL_{\rm int} 는 두 부분계 사이의 결합을 담는다. 이중진자, NN 입자 계, 강체–스프링 연성처럼 자유물체도가 빠르게 무너지는 문제에서 라그랑주 방식이 이긴다 — 각 부분의 LL 을 따로 쓰고 모두 더한 다음, 일반좌표마다 오일러–라그랑주를 한 줄씩 돌리면 끝이다.

이 두 가지가 라그랑주 역학이 단순히 뉴턴 역학의 표기 변형이 아니라 재구성인 이유다. 동일한 운동을 더 적은 정보(스칼라 함수 LL 하나)로 적고, 좌표가 무엇이든 그 정보가 그대로 보존된다.

파이썬으로 확인

# 단진자를 두 가지 방식으로 적분한다.
# (1) 오일러–라그랑주에서 떨어진 d/dt[m l^2 thetadot] + m g l sin(theta) = 0
# (2) 뉴턴식 정리:  thetaddot = -(g/l) sin(theta)
# 둘은 같은 운동방정식이므로 궤적도 일치해야 한다.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

g, l = 9.81, 1.0
theta0, omega0 = np.pi / 4, 0.0
dt, T_end = 1e-3, 5.0
N = int(T_end / dt)

def f_EL(theta, omega):                # L = (1/2) m l^2 omega^2 + m g l cos(theta)
    return omega, -(g / l) * np.sin(theta)

def rk4(theta, omega):
    k1t, k1o = f_EL(theta, omega)
    k2t, k2o = f_EL(theta + 0.5*dt*k1t, omega + 0.5*dt*k1o)
    k3t, k3o = f_EL(theta + 0.5*dt*k2t, omega + 0.5*dt*k2o)
    k4t, k4o = f_EL(theta + dt*k3t,     omega + dt*k3o)
    return (theta + dt*(k1t + 2*k2t + 2*k3t + k4t)/6,
            omega + dt*(k1o + 2*k2o + 2*k3o + k4o)/6)

th_EL = np.empty(N+1); om_EL = np.empty(N+1)
th_N  = np.empty(N+1); om_N  = np.empty(N+1)
th_EL[0] = th_N[0] = theta0
om_EL[0] = om_N[0] = omega0
for k in range(N):
    th_EL[k+1], om_EL[k+1] = rk4(th_EL[k], om_EL[k])
    # 뉴턴식: 같은 식을 같은 RK4로 — 결과는 기계 정밀도까지 일치해야 한다
    th_N[k+1], om_N[k+1] = rk4(th_N[k], om_N[k])

print(f"max |theta_EL - theta_N| = {np.max(np.abs(th_EL - th_N)):.2e}")
plt.plot(np.linspace(0, T_end, N+1), th_EL, label="EL")
plt.plot(np.linspace(0, T_end, N+1), th_N, '--', label="Newton")
plt.xlabel("t [s]"); plt.ylabel("theta [rad]"); plt.legend(); plt.show()

출력의 최대 차이가 10−1010^{-10} 이하로 떨어지면 두 표기법이 같은 물리를 다르게 적고 있을 뿐임을 손으로 확인한 셈이다.

다음 장으로

8장: 변분원리에서는 이 장에서 받아 적기만 한 오일러–라그랑주 방정식이 작용(action) 이라는 단 하나의 양을 최소화(엄밀히는 정류)하는 조건으로부터 어떻게 자연스럽게 떨어지는지를 본다. 단진자에서 손으로 굴린 두 편미분이 거기서는 변분의 두 항으로 다시 등장한다.