벡터장과 흐름 — 시간 발전을 그리는 도구

다양체 위의 매끄러운 벡터장 XX 가 ODE 의 우변이 되고, 그 흐름 ϕt\phi^t 가 시간 발전을 그리며, 두 벡터장의 리 괄호 [X,Y][X, Y] 가 흐름의 비가환성을 잰다.

들어가며

지난 장까지 우리는 배위공간 MM 위의 한 점에서 접벡터(tangent vector)가 무엇인지를 보았다. 이번 장은 그 접벡터를 모든 점에서 한꺼번에 지정하는 양 — 벡터장(vector field) — 으로 시야를 넓힌다. 벡터장은 그 자체로 운동 방정식의 우변이며, 그 적분곡선은 해석역학의 모든 궤적이고, 두 벡터장 사이의 비가환성은 다음 장에서 만날 미분형식과 리 도함수의 토대다. 이 장이 끝나면 독자는 ODE 한 줄을 “다양체 위의 흐름”이라는 그림으로 곧장 옮길 수 있어야 한다.

본론 1 — 벡터장: 점마다 방향을 주는 양

매끄러운 다양체 MM 위의 벡터장(vector field) XX 란, 각 점 q∈Mq \in M 에 그 점에서의 접벡터 X(q)X(q) 를 매끄럽게 대응시키는 양이다. 좌표 q=(q1,…,qn)q = (q^1, \ldots, q^n) 에서 표준 기저 ∂i:=∂/∂qi\partial_i := \partial / \partial q^i 를 쓰면

X=Xi(q) ∂iX = X^i(q)\, \partial_i

(아인슈타인 합 규약을 계속 쓴다.) 여기서 Xi:M→RX^i: M \to \mathbb{R} 는 매끄러운 함수, 즉 성분함수다. 점 qq 마다 화살표가 한 개씩 꽂혀 있는 그림을 떠올리면 충분하다.

벡터장의 진짜 역할은 ODE 의 우변이 된다는 것이다. 곡선 q(t)∈Mq(t) \in M 이 다음을 만족할 때, 우리는 그 곡선이 벡터장 XX 를 “따라간다”고 말한다.

q˙i(t)=Xi(q(t))\dot q^i(t) = X^i(q(t))

좌표를 떼고 다양체 위에서 쓰면 단순히 γ˙=X(γ)\dot\gamma = X(\gamma). 벡터장 = 운동 방정식의 우변이다.

가장 친근한 예: 평면 단진자. 위상공간 TS1∋(θ,θ˙)TS^1 \ni (\theta, \dot\theta) 위에 벡터장

X(θ,θ˙)=(θ˙,  −gℓsin⁡θ)X(\theta, \dot\theta) = \Bigl(\dot\theta,\; -\tfrac{g}{\ell}\sin\theta\Bigr)

를 두면, 이 벡터장의 흐름이 그대로 진자의 궤적이다. 좌변 첫 성분은 ”θ\theta 가 θ˙\dot\theta 만큼 변한다”는 자명한 관계, 둘째 성분이 진짜 운동 방정식 θ¨=−(g/ℓ)sin⁡θ\ddot\theta = -(g/\ell)\sin\theta.

본론 2 — 적분곡선과 흐름

초기점 q0∈Mq_0 \in M 을 주면, ODE 의 존재·유일성(이 장에서는 사실로 받아들인다)에 의해 γ˙=X(γ)\dot\gamma = X(\gamma), γ(0)=q0\gamma(0) = q_0 를 만족하는 곡선 γq0(t)\gamma_{q_0}(t) 가 (적어도 짧은 시간 동안) 유일하게 존재한다. 이를 XX 의 적분곡선(integral curve) 이라 부른다.

여기서 초기점을 변수로 보고, 시간 tt 를 고정하자. 그러면 사상

ϕt:M→M,ϕt(q0):=γq0(t)\phi^t: M \to M, \quad \phi^t(q_0) := \gamma_{q_0}(t)

가 정의된다. 이 사상의 모임 {ϕt}t∈R\{\phi^t\}_{t \in \mathbb{R}} 을 벡터장 XX 의 흐름(flow) 이라 부른다. 흐름은 정의에 의해 다음 군 성질을 만족한다.

ϕt+s=ϕt∘ϕs,ϕ0=idM\phi^{t+s} = \phi^t \circ \phi^s, \qquad \phi^0 = \mathrm{id}_M

즉 ”ss 초 흘러간 다음 tt 초 흘러간 결과”는 ”t+st+s 초 한 번에 흘러간 결과”와 같다. 이 성질은 XX 가 시간에 의존하지 않는 한 자명하다.

선형의 경우를 보면 모든 게 또렷해진다. M=RnM = \mathbb{R}^n 위에서 X(x)=AxX(x) = A x (AA 는 n×nn \times n 행렬)라면, ODE x˙=Ax\dot x = Ax 의 해는 잘 알려진 대로

ϕt(x0)=etAx0\phi^t(x_0) = e^{tA} x_0

즉 흐름이 행렬 지수다. 군 성질 e(t+s)A=etAesAe^{(t+s)A} = e^{tA}e^{sA} 도 자동으로 따른다. 0장에서 미리 던졌던 “ODE 가 어디로 가는지를 알려면 결국 행렬 지수다”라는 예고가 여기서 일반 다양체 버전으로 옷을 갈아입었다.

본론 3 — 리 괄호: 두 흐름은 가환인가?

이제 벡터장 두 개 X,YX, Y 가 같은 다양체 위에 있다고 하자. 자연스러운 질문: 두 흐름은 가환인가? 즉 ϕXt∘ϕYs\phi^t_X \circ \phi^s_Y 와 ϕYs∘ϕXt\phi^s_Y \circ \phi^t_X 가 같은가?

답을 재는 양이 리 괄호(Lie bracket) [X,Y][X, Y] 다. 좌표 성분으로는

[X,Y]k=Xi ∂iYk−Yi ∂iXk[X, Y]^k = X^i\, \partial_i Y^k - Y^i\, \partial_i X^k

좌표를 떼면, 임의의 매끄러운 함수 f:M→Rf: M \to \mathbb{R} 에 대해

[X,Y]f=X(Yf)−Y(Xf)[X, Y] f = X(Y f) - Y(X f)

여기서 Xf:=Xi∂ifX f := X^i \partial_i f 는 벡터장이 함수에 작용해 만든 또 하나의 매끄러운 함수다. 즉 벡터장은 1차 미분 연산자로도 볼 수 있고, 두 미분 연산자의 교환자(commutator)가 다시 1차 미분 연산자가 된다는 사실이 리 괄호의 정체다.

작은 예 하나로 손에 익히자. R2\mathbb{R}^2 위에서

X=∂x,Y=x ∂yX = \partial_x, \qquad Y = x\, \partial_y

성분으로는 X=(1,0)X = (1, 0), Y=(0,x)Y = (0, x). 공식을 그대로 두드리면 [X,Y]1=1⋅∂x0−0⋅∂x1=0[X, Y]^1 = 1\cdot \partial_x 0 - 0 \cdot \partial_x 1 = 0, [X,Y]2=1⋅∂xx−0⋅∂x0=1[X, Y]^2 = 1 \cdot \partial_x x - 0 \cdot \partial_x 0 = 1. 따라서

[X,Y]=∂y[X, Y] = \partial_y

기하적 의미: 한 점에서 시작해 XX 를 따라 시간 ϵ\epsilon 만큼 흘러가고, 거기서 YY 를 따라 다시 ϵ\epsilon 만큼 흘러간 뒤, XX 를 역방향으로 ϵ\epsilon, 마지막으로 YY 를 역방향으로 ϵ\epsilon 만큼 되돌아온다. 시작점으로 정확히 돌아왔다면 두 흐름은 가환이다. 일반적으로는 시작점에서

ϕY−ϵ∘ϕX−ϵ∘ϕYϵ∘ϕXϵ(q0)  =  q0+ϵ2[X,Y](q0)+O(ϵ3)\phi^{-\epsilon}_Y \circ \phi^{-\epsilon}_X \circ \phi^{\epsilon}_Y \circ \phi^{\epsilon}_X (q_0) \;=\; q_0 + \epsilon^2 [X, Y](q_0) + O(\epsilon^3)

만큼 벗어난다. 리 괄호가 0이 아니라는 것 = 두 흐름이 가환이 아니라는 것. 이 한 줄이 다음 장에서 만날 미분형식의 외미분(exterior derivative)과 리 도함수(Lie derivative)의 모든 식을 떠받친다.

파이썬으로 확인

# 2차원 벡터장 X(x,y) = (-y, x) (회전 생성자)의 적분곡선을
# 손으로 작성한 RK4 로 적분하고, 그 위에 plt.streamplot 을 겹쳐
# 적분곡선과 스트림라인이 일치함을 눈으로 확인한다.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def X(p):                                 # 벡터장: 회전 생성자
    x, y = p
    return np.array([-y, x])

def rk4_step(p, dt):                      # 표준 4차 룽게-쿠타
    k1 = X(p)
    k2 = X(p + 0.5 * dt * k1)
    k3 = X(p + 0.5 * dt * k2)
    k4 = X(p + dt * k3)
    return p + dt * (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) / 6

dt, T = 0.02, 6.0
N = int(T / dt)
initials = [(1.0, 0.0), (1.5, 0.0), (2.0, 0.0), (0.0, 1.2)]
curves = []
for q0 in initials:                       # 초기점마다 적분곡선을 모은다
    traj = np.empty((N + 1, 2))
    traj[0] = q0
    for n in range(N):
        traj[n+1] = rk4_step(traj[n], dt)
    curves.append(traj)

# 벡터장의 스트림라인을 배경으로 깔고, 적분곡선을 위에 겹친다
gx, gy = np.meshgrid(np.linspace(-2.5, 2.5, 25), np.linspace(-2.5, 2.5, 25))
plt.streamplot(gx, gy, -gy, gx, density=1.0, color="0.7")
for c in curves:
    plt.plot(c[:, 0], c[:, 1])
plt.gca().set_aspect("equal"); plt.xlabel("x"); plt.ylabel("y"); plt.show()

회전 생성자의 적분곡선은 원이어야 하고, 스트림라인 위에 겹쳐 그린 RK4 궤적이 정확히 원을 따라간다면 “벡터장 = 흐름”의 그림이 손에 들어온 것이다.

다음 장으로

6장: 미분형식과 외미분에서는 이 장에서 본 벡터장의 쌍대 대상 — 1-형식과 그 외미분 — 을 도입한다. 리 괄호 [X,Y][X, Y] 가 흐름의 비가환성을 잰다면, 외미분 dαd\alpha 는 1-형식이 작은 사각형 위에서 얼마나 “닫혀 있지 않은가”를 잰다. 두 양 사이를 잇는 카르탕 마법공식이 다음 장의 도착점이다.