푸아송 괄호와 적분가능성

위상공간 위 함수들 사이의 리 괄호 — 푸아송 괄호로 해밀턴 역학을 한 줄에 다시 적고, 그 그림에서 적분가능한 계와 작용–각 변수가 어떻게 떨어지는지를 본다.

들어가며

이 책의 마지막 장이다. 0장에서 다양체라는 무대를 깔고, 벡터장과 미분형식으로 그 위에 미분과 적분의 언어를 새겼고, 라그랑지안 한 줄로 운동방정식을 적었고, 변분원리로 그 식이 자연스럽게 떨어지는 것을 봤고, 대칭에서 보존량을 끌어냈고, 르장드르 변환으로 해밀턴의 그림으로 옮겨갔고, 11장에서 정준 변환의 문법을 정리했다. 그 모든 길이 지금 한 점에서 만난다 — 푸아송 괄호(Poisson bracket) 다.

본론 1은 푸아송 괄호 자체 — 위상공간 위 함수들 사이의 연산, 곱셈이 아니라 5장의 리 괄호 같은 대상. 본론 2는 그 괄호로 “적분가능”을 정의한다 — 핵심은 보존량의 개수가 아니라 서로 양립 한다는 것이다. 본론 3은 그 정의를 조화진동자에 적용해 작용–각 변수가 어떻게 운동을 등속 직선으로 펴 내는지를 본다.

본론 1 — 푸아송 괄호, 위상공간 위의 리 괄호

자유도 하나짜리 위상공간에서 두 매끈한 함수 $f(q, p)$, $g(q, p)$ 의 푸아송 괄호 를 다음과 같이 정의한다:

$$\{f, g\} = \frac{\partial f}{\partial q}\frac{\partial g}{\partial p} - \frac{\partial f}{\partial p}\frac{\partial g}{\partial q}$$

$\partial f/\partial q$ 는 $f$ 를 위치 $q$ 로 편미분한 양, $\partial f/\partial p$ 는 운동량 $p$ 로 편미분한 양이다. 위치 미분 곱하기 운동량 미분, 그것을 짝지어 빼는 한 줄이 정의의 전부다.

자유도 $n$ 인 경우에는 같은 항을 모든 $i = 1, \ldots, n$ 에 대해 합한다 — $\sum_i (\partial_{q^i} f \, \partial_{p_i} g - \partial_{p_i} f \, \partial_{q^i} g)$. 푸아송 괄호는 두 함수에서 새 함수를 만들어 내는 연산이지만 곱셈이 아니다. 곱셈은 $fg = gf$ 로 대칭이고 $ff = f^2$ 이지만, 푸아송 괄호는 $\{f, g\} = -\{g, f\}$ 이고 $\{f, f\} = 0$ 이다. 두 객체에서 새 객체를 만들되 그 결과가 두 객체의 “교환 불가능성”을 재는 연산 — 5장의 벡터장 위 리 괄호(Lie bracket) 와 같은 종류의 물건이다.

헷갈리기 쉬운 곳 — 푸아송 괄호는 곱이 아니라 리 괄호다. $\{f, g\}$ 라는 표기를 처음 보면 곱셈의 일종으로 읽고 싶어진다. 가장 눈에 띄는 차이가 반대칭성 이다 — 곱셈에서는 $3 \times 5 = 5 \times 3$ 이지만 푸아송 괄호에서는 $\{f, g\} = -\{g, f\}$ 다. 자기 자신과의 괄호는 항상 0이다 — $\{f, f\} = -\{f, f\}$ 이니 $\{f, f\} = 0$ 일 수밖에 없다. 곱셈에서 $f \cdot f = f^2 \neq 0$ 인 것과 정반대다. “함수들 사이의 리 괄호”로 외워야 맞다.

푸아송 괄호의 네 가지 성질이 모든 것을 떠받친다.

1. 쌍선형성. 양쪽 변수 각각에 대해 선형이다 — $\{af + bg, h\} = a\{f, h\} + b\{g, h\}$, 둘째 자리도 마찬가지. 미분이 선형 연산이므로 미분으로 만들어진 푸아송 괄호도 선형성을 물려받는다.
2. 반대칭성. $\{f, g\} = -\{g, f\}$ 이고 $\{f, f\} = 0$ 이다. 정의식에서 $f$ 와 $g$ 를 맞바꾸면 두 항이 자리를 바꾸면서 전체 부호가 뒤집힌다.
3. 라이프니츠 규칙. $\{f, gh\} = \{f, g\}h + g\{f, h\}$ — 곱미분 법칙과 똑같이 행동한다. 푸아송 괄호의 한쪽 자리를 고정하면 다른 자리는 미분 연산자처럼 작동한다. 실제로 $\{f, \cdot\}$ 는 위상공간 위의 한 벡터장 — $f$ 가 생성하는 흐름의 벡터장 — 이고, 라이프니츠 규칙이 그 벡터장이 진짜 미분이라는 증명서다.
4. 야코비 항등식. $\{f, \{g, h\}\} + \{g, \{h, f\}\} + \{h, \{f, g\}\} = 0$. 세 함수를 돌려 가며 이중 괄호를 만들어 더하면 정확히 0이다. 야코비 항등식이 깨지면 괄호들 사이의 셈이 순서에 따라 모순을 낳는다.

이 네 성질로 위상공간의 매끈한 함수 공간 $C^\infty(T^*M)$ 은 무한차원 리 대수(Lie algebra) 가 된다. 5장에서 벡터장들이 리 괄호로 리 대수를 이뤘던 구조가 이번에는 함수들 위에서 다시 나타난 셈이다. 함수 $f$ 마다 위상공간 위의 벡터장 $X_f = \{f, \cdot\}$ ($f$ 의 해밀턴 벡터장)을 대응시킬 수 있고, 이 대응이 푸아송 괄호를 벡터장의 리 괄호로 정확히 옮긴다 — $X_{\{f,g\}} = [X_f, X_g]$. 함수들의 푸아송 대수와 벡터장들의 리 대수가 한 쪽 다리로 이어져 있다.

위치와 운동량 자신들 사이의 푸아송 괄호를 계산하자. $f = q^i$, $g = q^j$ 를 정의식에 넣으면 $q^i$ 를 $p$ 로 미분한 값이 0이라 두 항 모두 사라져 $\{q^i, q^j\} = 0$ 이다. 마찬가지로 $\{p_i, p_j\} = 0$. $f = q^i$, $g = p_j$ 를 넣으면 $\partial q^i / \partial q^k = \delta^i_{\ k}$, $\partial p_j / \partial p_k = \delta_{j}^{\ k}$ 이니

$$\{q^i, p_j\} = \delta^i_{\ j}$$

가 떨어진다 ($\delta^i_{\ j}$ 는 크로네커 델타 — $i = j$ 면 1, 아니면 0). 이 세 줄 — $\{q^i, q^j\} = 0$, $\{p_i, p_j\} = 0$, $\{q^i, p_j\} = \delta^i_{\ j}$ — 을 기본 괄호(fundamental Poisson bracket) 라 부른다. 11장에서 “변환이 정준이다”를 행렬 조건 $M^T J M = J$ 로 적었던 것은, 사실 “변환을 거쳐도 기본 괄호가 보존된다” — $\{Q^i, P_j\} = \delta^i_{\ j}$ 가 새 좌표에서도 성립한다 — 와 똑같은 말이다. 11장의 심플렉틱 행렬 조건이 이 괄호 세 줄의 다른 얼굴이었다.

임의의 위상공간 함수 $f(q, p, t)$ 의 시간 도함수를 연쇄법칙으로 펼치면 $\dot f = \partial_q f \, \dot q + \partial_p f \, \dot p + \partial_t f$ 인데, 여기에 해밀턴 방정식 $\dot q = \partial_p H$, $\dot p = -\partial_q H$ 를 대입하면 $\partial_q f \, \partial_p H - \partial_p f \, \partial_q H$ — 정확히 $\{f, H\}$ 다. 그래서

$$\dot f = \{f, H\} + \frac{\partial f}{\partial t}$$

가 된다. $f = q^i$ 를 대입하면 $\dot q^i = \{q^i, H\} = \partial H / \partial p_i$, $f = p_i$ 를 대입하면 $\dot p_i = \{p_i, H\} = -\partial H / \partial q^i$ — 11장의 해밀턴 방정식 두 줄이 한 줄로 합쳐졌다.

헷갈리기 쉬운 곳 — $\{f, H\} = 0$ 은 곧 보존이고, 그것은 두 흐름이 가환이라는 뜻이다. $\{f, H\} = 0$ 이면 ($f$ 가 시간을 명시적으로 안 담은 경우) $\dot f = 0$ — $f$ 는 운동을 따라 변하지 않는 보존량 이다. 9장에서 본 뇌터의 정리가 푸아송 괄호의 언어에서 ”$\{f, H\} = 0$ 이면 $f$ 는 보존량”이라는 한 줄짜리 명제가 된다. $\{f, H\} = 0$ 은 기하학적으로 $f$ 가 생성하는 흐름과 $H$ 가 생성하는 흐름이 서로 가환이라는 뜻이다 — $H$ 를 따라 흐른 다음 $f$ 를 따라 흐르든 순서를 바꾸든 같은 점에 도착한다. 5장에서 벡터장의 리 괄호가 0이면 두 흐름이 가환이었던 정리가 여기서 푸아송 괄호로 다시 나타난다. 보존량이란 “안 변하는 양”이 아니라 ”$H$ 의 흐름과 양립하는 흐름을 만드는 양”이다.

기본 괄호 $\{q^i, p_j\} = \delta^i_{\ j}$ 를 양자역학의 표준 교환관계와 나란히 놓으면

$$\{q^i, p_j\} = \delta^i_{\ j} \quad \longleftrightarrow \quad [\hat q^i, \hat p_j] = i\hbar\, \delta^i_{\ j}$$

— 고전의 푸아송 괄호가 양자의 교환자(commutator)와 $i\hbar$ 배만큼의 차이로 정확히 대응한다.

헷갈리기 쉬운 곳 — 고전 푸아송 괄호 ↔ 양자 교환자는 디랙 대응이다. 디랙이 정식화한 대응 원리 의 핵심이 이것이다 — 고전의 푸아송 괄호 $\{f, g\}$ 가 있던 자리에 양자에서는 교환자 $\frac{1}{i\hbar}[\hat f, \hat g]$ 가 들어선다. 고전의 $\dot f = \{f, H\}$ 가 양자에서 하이젠베르크 방정식 $\dot{\hat f} = \frac{1}{i\hbar}[\hat f, \hat H]$ 로 그대로 옮겨가는 것도 이 대응 덕분이다. 푸아송 괄호의 네 성질 — 쌍선형, 반대칭, 라이프니츠, 야코비 — 이 그대로 양자역학 교환자의 네 성질이 된다. 다만 대응이 완벽한 동형 은 아니다 — 곱이 섞인 항을 양자화할 때 연산자 순서를 어떻게 잡느냐 하는 모호함(ordering ambiguity)이 남아서, 푸아송 괄호에서 교환자로의 번역은 “거의” 사전적이지 완전히 일대일은 아니다.

본론 2 — 리우빌 적분가능성

자유도 $n$ 의 해밀턴 계가 리우빌 의미에서 적분가능(Liouville integrable) 하다는 것은, 위상공간 위에 $n$ 개의 매끈한 함수 $F_1, \ldots, F_n$ 이 존재해서 다음 세 조건을 만족함을 뜻한다.

1. 그중 하나는 $H$ 자신이다 — 보통 $F_1 = H$ 로 잡는다. 에너지가 보존량 목록의 첫 줄이다.
2. $n$ 개의 함수는 함수적으로 독립 이다 — 미분 $dF_1, \ldots, dF_n$ 이 거의 모든 점에서 일차독립이다. 어느 하나가 다른 것들의 함수로 표현되지 않는다는 — 진짜로 서로 다른 $n$ 개의 정보라는 — 뜻이다.
3. 두 개씩 모두 푸아송 가환 이다 — 모든 $i, j$ 에 대해 $\{F_i, F_j\} = 0$. 이 조건을 “대합 상태(in involution)“라고 부른다.

조건 3이 핵심이다. 적분가능성은 “보존량이 $n$ 개 있다”가 아니다. 그 $n$ 개가 서로 푸아송 가환이어야 한다 — 서로의 흐름과도 양립해야 한다. 본론 1에서 $\{f, H\} = 0$ 이 ”$f$ 의 흐름과 $H$ 의 흐름이 가환”이었으므로, $\{F_i, F_j\} = 0$ 은 ”$F_i$ 가 생성하는 정준변환 흐름과 $F_j$ 가 생성하는 흐름이 서로 가환”이라는 강한 조건이다. 이 가환성 덕분에 $n$ 개의 흐름을 위상공간 위에 좌표축 같은 그리드로 펼칠 수 있다 — 어느 흐름을 먼저 타든 같은 격자점에 도착하니 그것들이 좌표 가 될 자격을 얻는다.

헷갈리기 쉬운 곳 — 보존량이 $n$ 개 있어도 대합이 아니면 적분가능하지 않다. 빠진 단어가 “대합”이다. 보존량 $F_i$ 가 $n$ 개 있어서 각각 $\{F_i, H\} = 0$ 을 만족하더라도, 그것들끼리 $\{F_i, F_j\} = 0$ 이 성립하지 않으면 리우빌 의미에서 적분가능하지 않다. $F_i$ 끼리 괄호가 0이 아니면 $F_i$ 의 흐름을 따라간 다음 $F_j$ 의 흐름을 타는 것과 순서를 바꾸는 것이 다른 점에 도착하고, 그러면 그 흐름들로 위상공간에 일관된 좌표 격자를 그릴 수 없고 뒤에 나올 토러스 구조도 무너진다. 실제 예로 강체 회전의 각운동량 성분 $L_x, L_y, L_z$ 는 모두 보존량이지만 서로 푸아송 가환이 아니다 — $\{L_x, L_y\} = L_z$ 같은 관계가 성립한다. 세 성분을 한꺼번에 적분가능성의 $n$ 개 함수로 쓸 수 없고, 대합인 부분집합(가령 $L^2$ 와 $L_z$)만 골라 써야 한다. 보존량의 개수 가 아니라 서로의 양립 이 적분가능성의 본질이다.

리우빌–아르놀트 정리(Arnold) — 공통 등위면 $\{F_i = c_i\}$ 이 콤팩트하고 연결되어 있으면, 그것은 $n$ 차원 토러스 $T^n$ 이고, 운동은 그 토러스 위의 등속 평행이동이다. 자유도 하나면 등위면은 원 $T^1$, 자유도 둘이면 도넛 표면 $T^2$, 그 이상이면 고차원 토러스다. 보존량이 운동을 토러스 위에 가두고, 토러스 위에서 운동은 일정한 진동수로 도는 직선 운동이다.

$T^n$ 은 $n$ 개의 원 $S^1$ 을 직접곱한 다양체 — $n$ 개의 각도 변수 각각이 $[0, 2\pi)$ 에서 주기적으로 도는 공간이다. $n = 1$ 이면 원, $n = 2$ 이면 도넛 표면.

토러스 위의 좌표로 작용–각 변수(action–angle variables) $(J_i, \theta_i)$ 가 자연스럽게 잡힌다. 작용 $J_i$ 는 어느 토러스인지를 라벨링하고(토러스를 갈아타지 않는 한 상수) 각도 $\theta_i \in [0, 2\pi)$ 는 그 토러스 위 어디에 있는지를 정한다. 이 좌표에서 해밀토니안은 각도에 의존하지 않고 작용에만 의존하는 단순한 함수 $H(J)$ 가 되어 해밀턴 방정식이

$$\dot J_i = 0, \qquad \dot\theta_i = \omega_i(J) := \frac{\partial H}{\partial J_i}$$

로 풀린다. $J_i$ 는 상수, $\theta_i$ 는 상수 진동수 $\omega_i$ 로 균일하게 증가 — 모든 운동이 토러스 위 등속 직선 운동이다. 11장 본론 1에서 언급한 “운동방정식을 자명하게 만드는 꿈의 좌표”가 작용–각 변수다.

헷갈리기 쉬운 곳 — 적분가능은 “풀기 쉬움”이 아니라 “토러스 구조를 가짐”이다. 적분가능성은 난이도 에 대한 말이 아니라 구조 에 대한 말이다. 적분가능한 계는 위상공간이 토러스들로 깔끔하게 켜켜이 쌓여 있고 운동이 그 토러스 위 등속 평행이동이라는 — 매우 특별한 — 기하학적 구조를 가진다. 작용–각 변수를 명시적으로 적어 내는 일은 적분가능한 계에서도 어려울 수 있다 — $J_i = \frac{1}{2\pi}\oint p_i \, dq^i$ 라는 적분이 닫힌 형태로 안 풀리는 경우가 흔하다. “적분가능 = 토러스 구조가 있어서 운동이 원리상 등속 직선으로 펴진다”로 새겨야 한다. 구조의 존재와 그 구조를 명시적으로 적는 일은 별개다.

등위면이 하필 토러스인 이유. $n$ 개의 대합 보존량 $F_i$ 가 각자 위상공간 위에 흐름을 만들고, 대합이라 그 $n$ 개 흐름이 서로 가환이다. 가환인 $n$ 개의 흐름이 공통 등위면 위를 빈틈없이 덮으면, 그 등위면은 $n$ 개의 “독립한 원 방향”을 가진 매끄러운 면이 될 수밖에 없고 — 콤팩트하면서 그런 면은 $n$ 차원 토러스뿐이다. 구 위에는 빠지는 점 없이 매끄러운 벡터장을 둘 수 없지만(털 난 공 정리) 토러스 위에는 둘 수 있다. 대합 보존량이 만드는 가환 흐름들이 갈 곳은 토러스밖에 없다.

적분가능한 계의 전통적인 목록은 짧다 — 케플러 문제(2체 중력), 조화진동자, 강체의 자유회전(오일러 팽이), 코지 팽이(대칭 팽이) 정도다. 일반적인 해밀턴 계는 적분가능하지 않다. 충분한 개수의 대합 보존량이 그냥 존재하지 않는다.

헷갈리기 쉬운 곳 — 대부분의 계는 적분 불가능하다 — 그래서 KAM 정리가 필요하다. 적분가능한 계는 모든 해밀턴 계 가운데 측도 0에 가까운 극히 예외적인 무리다. 책에 자주 나오는 이유는 그것들이 깨끗하고 손으로 끝까지 풀려서 가르치기 좋기 때문이지 대표적이어서가 아니다. 적분가능한 계에 작은 섭동을 더하면 — 케플러 문제에 다른 행성의 인력을 조금 보태면 — 토러스 구조가 통째로 살아남지 못하고 일부는 살아남고 일부는 무너져 카오스 영역이 생긴다. 어떤 토러스가 얼마나 살아남는지를 정밀하게 다루는 것이 20세기 역학의 큰 성취인 KAM 정리(콜모고로프–아르놀트–모저)다. 이 책은 적분가능한 깨끗한 그림에서 멈추지만 그 너머에는 토러스가 부서지는 훨씬 넓고 거친 풍경이 있고, 그쪽이 오히려 “보통”이다.

본론 3 — 조화진동자의 작용–각 변수

자유도 하나의 1차원 조화진동자의 해밀토니안은

$$H(q, p) = \frac{1}{2}p^2 + \frac{1}{2}\omega^2 q^2$$

이다 (단위 질량 $m = 1$, 진동수 $\omega$). 위상공간의 등위면 $H = E$ 는 반축이 $\sqrt{2E}$ 와 $\sqrt{2E}/\omega$ 인 타원 — 본론 2에서 말한 “콤팩트하고 연결된 등위면”이고 자유도가 하나이니 1차원 토러스, 즉 원이다. 자유도 1에서는 적분가능성 조건이 가볍다 — $F_1 = H$ 하나로 세 조건이 다 충족된다. 보존량이 하나 필요한데 그게 에너지 자신이고, 하나뿐이니 대합 조건은 자동이며($\{H, H\} = 0$ 은 반대칭성에서 공짜), 함수적 독립도 자명하다. 자유도 1인 모든 계는 — 에너지만 보존되면 — 자동으로 적분가능하다. 적분가능성이 까다로워지는 것은 자유도가 둘 이상일 때, 보존량을 여러 개 찾아야 하고 그것들이 서로 대합이기까지 해야 할 때다.

다음 변환을 도입한다:

$$q = \sqrt{\frac{2J}{\omega}}\, \sin\theta, \qquad p = \sqrt{2J\omega}\, \cos\theta$$

이 변환이 정준인지 확인하자 — 11장에서 정준 변환만이 해밀턴 방정식의 형태를 보존했으니, 새 좌표 $(\theta, J)$ 에서 해밀턴 방정식을 쓰려면 변환이 정준이어야 한다. 야코비안은 — $\partial q/\partial\theta = \sqrt{2J/\omega}\cos\theta$, $\partial q/\partial J = \frac{1}{\sqrt{2J\omega}}\sin\theta$, $\partial p/\partial\theta = -\sqrt{2J\omega}\sin\theta$, $\partial p/\partial J = \sqrt{\omega/(2J)}\cos\theta$ 이고, 행렬식은

$$\frac{\partial(q, p)}{\partial(\theta, J)} = \sqrt{\tfrac{2J}{\omega}}\cos\theta \cdot \sqrt{\tfrac{\omega}{2J}}\cos\theta - \tfrac{1}{\sqrt{2J\omega}}\sin\theta \cdot \big(-\sqrt{2J\omega}\sin\theta\big) = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$$

— 정확히 1이다. 부피요소 $dq \wedge dp = d\theta \wedge dJ$ 를 보존하니 11장 본론 1의 “1자유도에서 정준 ⟺ 면적 보존”에 의해 이 변환은 정준 변환이다.

해밀토니안에 대입하면

$$H = \tfrac{1}{2} \cdot 2J\omega \cos^2\theta + \tfrac{1}{2}\omega^2 \cdot \tfrac{2J}{\omega}\sin^2\theta = J\omega (\cos^2\theta + \sin^2\theta) = \omega J$$

해밀토니안이 각도 $\theta$ 에 의존하지 않는다 — 작용 $J$ 만의 함수 $H = \omega J$ 다. 본론 2의 $H(J)$ 꼴이 조화진동자에서 가장 단순한 형태(작용에 정비례)로 일어난 것이다. 해밀턴 방정식은:

$$\dot J = -\frac{\partial H}{\partial \theta} = 0, \qquad \dot\theta = \frac{\partial H}{\partial J} = \omega$$

$J$ 는 상수, $\theta$ 는 일정한 각속도 $\omega$ 로 증가한다. $(\theta, J)$ 평면에서 궤적은 수평한 직선 — 높이 $J$ 는 고정된 채 $\theta$ 만 오른쪽으로 등속으로 흐른다. 본론 2의 일반론 $\dot J_i = 0$, $\dot\theta_i = \omega_i$ 가 자유도 하나에서 원 위를 일정한 속도로 도는 운동으로 나타난다.

헷갈리기 쉬운 곳 — 작용–각 좌표에서 시간이 등속이지, 원래 좌표에서는 아니다. $(\theta, J)$ 좌표에서 $\theta$ 가 등속으로 흐른다고 해서 원래 좌표 $(q, p)$ 에서도 운동이 등속이라고 생각하면 안 된다. $q = \sqrt{2J/\omega}\sin\theta$ 라는 관계를 보면, $\theta$ 가 등속으로 증가해도 $q$ 는 사인 함수를 따라 — 양 끝(전향점)에서 느려지고 가운데에서 빨라지며 — 비등속으로 움직인다. 원래 위상공간에서 점은 타원을 따라 도는데 그 타원 위를 균일한 각속도 로 도는 게 아니다. 작용–각 변수가 주는 보상이 이것이다 — 원래 좌표에서 비등속이던 운동을 좌표를 잘 갈아 끼움으로써 등속 직선 운동으로 펴낸다. “시간이 등속으로 흐른다”는 작용–각 좌표의 성질이지 운동 자체의 성질이 아니다.

$J$ 에는 좌표와 무관한 기하학적 정의가 있다 — 한 주기 동안 위상공간에서 궤적이 둘러싸는 면적을 $2\pi$ 로 나눈 양이다:

$$J = \frac{1}{2\pi}\oint p \, dq$$

조화진동자라면 이 적분이 타원의 면적 $\pi \cdot \sqrt{2E} \cdot \sqrt{2E}/\omega = 2\pi E/\omega$ 를 $2\pi$ 로 나눈 것 — $J = E/\omega$ 이고, $H = \omega J$ 와 정확히 맞아떨어진다. 변환식에 끼워 넣었던 $J$ 와 면적으로 정의한 $J$ 가 같은 값으로 떨어지는 것이 작용이 좌표에 얽매이지 않은 진짜 기하학적 양이라는 증거다. 어떤 좌표로 적든 토러스 한 바퀴가 둘러싸는 면적은 같다.

헷갈리기 쉬운 곳 — $J$ 는 한 주기 위상공간 면적을 $2\pi$ 로 나눈 것이다. $J$ 에는 눈에 보이는 기하학적 정체가 있다 — 위상공간에서 궤적이 한 바퀴 돌며 둘러싸는 면적을 $2\pi$ 로 나눈 값이다. $J$ 는 “어느 토러스인가”의 라벨이 된다 — 큰 타원은 큰 $J$, 작은 타원은 작은 $J$, 면적이 곧 토러스의 이름표다. 이 면적이라는 정체 덕분에 $J$ 는 양자역학으로 가는 다리에서 가장 자연스럽게 들어 올려지는 양이 된다. 보어–조머펠트의 양자화 조건 $J = n\hbar$ — “허용되는 궤도는 위상공간 면적이 $\hbar$ 의 정수배인 것뿐”이라는 옛 양자론의 처방 — 이 떨어지는 자리가 정확히 여기다. 작용은 고전역학과 양자역학을 잇는 경첩 같은 양이고, 그 정체가 “위상공간 면적 ÷ $2\pi$“다.

파이썬으로 확인

# 조화진동자 (m=1, omega=1.5)를 RK4로 적분하면서
# 작용 J = H/omega 와 위상 theta = arctan2(p, omega*q) 를 매 스텝 기록한다.
# (q, p) 는 타원, (theta, J) 는 수평선이 되어야 한다.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

omega = 1.5
def rhs(q, p):
    return p, -omega**2 * q

def rk4_step(q, p, dt):
    k1q, k1p = rhs(q, p)
    k2q, k2p = rhs(q + 0.5*dt*k1q, p + 0.5*dt*k1p)
    k3q, k3p = rhs(q + 0.5*dt*k2q, p + 0.5*dt*k2p)
    k4q, k4p = rhs(q + dt*k3q,     p + dt*k3p)
    return (q + dt*(k1q + 2*k2q + 2*k3q + k4q)/6,
            p + dt*(k1p + 2*k2p + 2*k3p + k4p)/6)

dt, T_end = 0.01, 12.0
N = int(T_end / dt)
q = np.empty(N+1); p = np.empty(N+1)
q[0], p[0] = 1.2, 0.0
for k in range(N):
    q[k+1], p[k+1] = rk4_step(q[k], p[k], dt)

H = 0.5*p**2 + 0.5*omega**2*q**2
J = H / omega
theta = np.arctan2(p, omega*q)
print(f"max relative drift of J = {(J.max() - J.min())/J[0]:.2e}")

fig, ax = plt.subplots(1, 2, figsize=(9, 4))
ax[0].plot(q, p); ax[0].set_xlabel("q"); ax[0].set_ylabel("p"); ax[0].set_title("(q, p) 타원")
ax[1].plot(theta, J, '.', ms=2); ax[1].set_xlabel(r"$\theta$"); ax[1].set_ylabel("J")
ax[1].set_title(r"$(\theta, J)$ 수평선"); ax[1].set_ylim(J[0]*0.9, J[0]*1.1)
plt.tight_layout(); plt.show()

진동수 $\omega = 1.5$ 의 조화진동자를 4차 룽게–쿠타(RK4)로 위상공간 궤적 $(q(t), p(t))$ 를 시간 $12.0$ 까지 $dt = 0.01$ 간격으로 적분한다. rhs 가 운동방정식 $\dot q = p$, $\dot p = -\omega^2 q$ 를 담고, rk4_step 이 한 스텝을 진행한다 — 11장의 단진자 코드와 같은 적분기다.

매 스텝의 $(q, p)$ 에서 두 양을 계산한다. 작용은 $J = H/\omega$ — 본론 3에서 $H = \omega J$ 였으니 거꾸로 푼 것이다. 위상은 $\theta = \text{arctan2}(p, \omega q)$ — 변환식 $q \propto \sin\theta$, $p \propto \cos\theta$ 를 뒤집으면 $\tan\theta = p/(\omega q)$ 이고, 사분면을 제대로 잡아 주는 arctan2 로 각도를 복원한다. $J$ 의 최대 상대 표류 — $(J_{\max} - J_{\min})/J_0$ — 가 $10^{-6}$ 미만으로 떨어지면 RK4가 작용을 충분히 잘 보존하고 있다는 신호다. 11장에서 봤듯 RK4는 엄밀히 심플렉틱하지 않아서 아주 긴 적분에서는 미세한 표류가 쌓이지만, 이 정도 길이에서는 무시할 만하다. 좌측 그림은 원래 위상공간 $(q, p)$ 의 타원이고, 우측 그림은 작용–각 좌표 $(\theta, J)$ 에서의 수평선이다.

마치며

이 책의 줄기를 짚어 두자. 다양체 라는 무대에서 시작했다 — 좌표는 임의로 붙이는 이름표이고 물리는 그 이름표 아래의 무대 자체에 있다는 관점이다. 그 무대 위에 벡터장 을 얹어 “흐름”의 그림을 얻었고, 미분형식 의 언어로 적분과 미분의 모든 정리(스토크스 정리로 대표되는)를 한 줄로 정리했다. 라그랑지안 이라는 단 하나의 스칼라 함수로 운동방정식을 적었고, 변분원리 로부터 그 식이 “작용을 멈춤점으로 만드는 경로”라는 원리에서 자연스럽게 떨어지는 것을 봤다. 대칭 이 보존량을 낳는 뇌터의 다리를 건넜고, 르장드르 변환으로 속도를 운동량으로 갈아 끼워 해밀턴 의 그림으로 옮겨갔다. 좌표가 위치와 운동량의 평등한 짝으로 재편되자 정준 변환 이 그 평등을 다루는 문법으로 등장했고, 마지막으로 이 장에서 푸아송 괄호 가 그 모든 구조를 떠받치는 대수로 드러났다.

한 권 내내 추구한 것은 단 하나였다 — 같은 물리를 점점 더 좌표 독립적인 언어로 다시 적는 일. 뉴턴의 $F = ma$ 는 좌표에 민감하다. 라그랑지안은 좌표 변환에 더 너그럽다. 해밀턴 형식은 위치와 운동량을 섞는 변환까지 받아들인다. 푸아송 괄호와 그 너머의 심플렉틱 형식에 이르면, 운동방정식은 좌표를 아예 언급하지 않고 $\dot f = \{f, H\}$ 한 줄로 적힌다. 매 장이 같은 풍경을 한 겹 더 깊은 곳에서 다시 그린 셈이다.

이 다음으로 갈 길은 세 갈래다. 첫째, 후속 권인 해석역학 II 다. 거기서는 이 장에서 정의만 한 작용–각 변수를 실제로 찾아내는 체계적 방법 — 해밀턴–야코비 방정식 — 을 다루고, 입자의 역학에서 장(field)의 역학으로 일반화하는 길을 연다. 둘째, 더 엄밀한 수학적 토대를 원한다면 아르놀트의 Mathematical Methods of Classical Mechanics 가 표준 참고서다 — 이 책이 그림과 직관으로 스쳐 지나간 정리들의 정확한 진술과 증명이 거기 있다. 리우빌–아르놀트 정리도 그 책의 한 정리다. 셋째, 푸아송 괄호 너머로 — 심플렉틱 형식 $\omega = dp_i \wedge dq^i$ 자체가 주인공이 되는 — 심플렉틱 기하학 을 수학 과정으로 한 번 더 밟아 보는 것을 권한다. 이 책에서는 심플렉틱 형식이 해밀턴 역학을 떠받치는 조연 으로 등장했지만, 수학에서는 그것 자체가 풍부한 연구 대상이다.