変分原理 — 作用を定常にする経路

経路 q(t)q(t) に数を返す汎関数 S[q]=∫L dtS[q] = \int L\,dt — その定常点が運動方程式であるという一行が、座標を忘れて場と量子まで延びる橋全体を支える。

はじめに

7章までで、われわれはラグランジアン L(q,q˙,t)L(q, \dot q, t) とそのオイラー–ラグランジュ(Euler–Lagrange)方程式を、多様体上のベクトル場と微分形式の言葉で扱ってきた。本章ではその方程式が どこから来るのか をもう一段さかのぼる。答えは 作用(action) という一つの数。本章を終えれば読者は「物理的軌道とは作用を定常(stationary)にする経路である」というハミルトンの原理を正確に述べられるようになり、δS=0\delta S = 0 という一行から EL 方程式を手で導けるはずだ。同時に、なぜこの原理が単なる言い換えではなく — 座標変換に無関係で、部分系について加法的で、場・ゲージ・経路積分へまっすぐ拡張する — 力学唯一の普遍言語なのかを一段落で整理できることも目指す。

本論 1 — 汎関数としての作用

汎関数(functional) とは 関数に数を返す 写像である。通常の関数 q:R→Rnq: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n が点 tt に点 q(t)q(t) を対応させるのに対し、汎関数は 関数そのもの に数一つを返す。例:曲線の長さ ℓ[γ]=∫∣γ˙∣ dt\ell[\gamma] = \int |\dot\gamma|\,dt、領域 Ω\Omega 上の関数の積分 ∫Ωf dV\int_\Omega f\, dV。どれも「関数を入れると数が出る」。

解析力学の主役は 作用 という汎関数である。時刻 t1,t2t_1, t_2 と、その間の滑らかな経路 q:[t1,t2]→Mq: [t_1, t_2] \to M に対して

S[q]=∫t1t2L(q(t), q˙(t), t) dtS[q] = \int_{t_1}^{t_2} L\bigl(q(t),\, \dot q(t),\, t\bigr)\, dt

SS の単位は LL の単位かけ秒、すなわちエネルギー×時間、SI 単位で J⋅s\text{J}\cdot\text{s}。プランク定数 ℏ\hbar (エイチバー)が同じ単位であるという事実は、作用が量子力学で再登場するときに意味を取り戻す。

ハミルトンの原理(principle of stationary action) はこの一行である:両端点 q(t1)=q1q(t_1) = q_1, q(t2)=q2q(t_2) = q_2 を固定した滑らかな経路の集合のうえで、物理的に実現される経路は SS の 定常点(stationary point) である。定常点とは、小さな変分 q→q+δqq \to q + \delta q に対して SS の一次変化が 0 という意味で、最小でも最大でもない鞍点(saddle)であってよい。「最小作用」という言い方が広いが正確ではなく、定常作用と呼ぶのが正しい。

ここで変分 δq\delta q は 両端点でゼロになる 任意の滑らかな関数である。つまり δq(t1)=δq(t2)=0\delta q(t_1) = \delta q(t_2) = 0。両端点は境界条件として与えられた定数で、変数ではない。

本論 2 — δS=0\delta S = 0 からオイラー–ラグランジュへ

変分を直接計算しよう。S[q+δq]−S[q]S[q + \delta q] - S[q] を δq\delta q の一次まで展開する。記法はアインシュタインの和の規約をそのまま用い、自由度の添字 i=1,…,ni = 1, \ldots, n。

δS=∫t1t2 ⁣(∂L∂qi δqi+∂L∂q˙i δq˙i)dt\delta S = \int_{t_1}^{t_2} \!\left( \frac{\partial L}{\partial q^i}\,\delta q^i + \frac{\partial L}{\partial \dot q^i}\,\delta \dot q^i \right) dt

ここで δq˙i=ddt(δqi)\delta \dot q^i = \frac{d}{dt}(\delta q^i) である(変分と時間微分は可換)。第二項を部分積分すると

∫t1t2∂L∂q˙i ddt(δqi) dt=[∂L∂q˙i δqi]t1t2−∫t1t2ddt ⁣(∂L∂q˙i)δqi dt\int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial L}{\partial \dot q^i}\, \frac{d}{dt}(\delta q^i)\, dt = \left[ \frac{\partial L}{\partial \dot q^i}\, \delta q^i \right]_{t_1}^{t_2} - \int_{t_1}^{t_2} \frac{d}{dt}\!\left( \frac{\partial L}{\partial \dot q^i} \right) \delta q^i\, dt

境界項は δq(t1)=δq(t2)=0\delta q(t_1) = \delta q(t_2) = 0 により消える。残りをまとめて

δS=∫t1t2(∂L∂qi−ddt∂L∂q˙i)δqi dt\delta S = \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial L}{\partial q^i} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q^i} \right) \delta q^i \, dt

物理的経路は 任意 の許容される δq\delta q について δS=0\delta S = 0 でなければならない。ここで 変分法の基本補題(fundamental lemma) が要る:連続関数 f(t)f(t) が、δq(t1)=δq(t2)=0\delta q(t_1) = \delta q(t_2) = 0 を満たす任意の滑らかな δq\delta q について ∫f δq dt=0\int f\, \delta q\, dt = 0 なら f≡0f \equiv 0。一行の正当化:もしどこかで f(t∗)>0f(t_*) > 0 なら、その近傍のみで正値の滑らかな山形 δq\delta q を選べば ∫fδq dt>0\int f \delta q\, dt > 0 となり仮定に反する。

ゆえに括弧内はすべての ii について 0:

ddt∂L∂q˙i−∂L∂qi=0\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q^i} - \frac{\partial L}{\partial q^i} = 0

これがオイラー–ラグランジュ方程式である。6, 7 章で天下り的に受け取ったこの式が、ただひとつの汎関数の定常条件に過ぎないことが、ここで初めて見える。

本論 3 — なぜこれは単なる代数ではないのか

EL 方程式は別のやり方で — ニュートン則を一般化座標に変換しても、多様体上の測地線方程式としても — 導ける。それでも変分原理が「力学の真の出発点」とされる理由は三つある。

第一に、座標の自由さ(coordinate-freedom)。SS はスカラー — 数一つ — である。座標をどう選んでも SS の値は変わらない。したがって定常点も変わらない。EL 方程式が任意の滑らかな座標変換のもとで形を保つという事実は、変分原理から見れば 証明するまでもなく 自明な帰結だ。

第二に、加法性(additivity)。部分系 1 と 2 が相互作用しているなら、全系のラグランジアンは L=L1+L2+LintL = L_1 + L_2 + L_\mathrm{int} で、S=S1+S2+SintS = S_1 + S_2 + S_\mathrm{int}。変分も加わる。ニュートン則だと自由度が増えるたびに式を書き直すが、変分原理では項を足すだけで終わる。この加法性は II 巻 5 章で場のラグランジアン密度 L\mathcal{L} へ拡張されるときもそのまま生きる。

第三に、そして決定的に、拡張性。作用原理は、われわれの知る限り、力学を — 質点から — 場(field)、ゲージ理論、一般相対性、そして量子力学の経路積分(II 巻 9 章)まで 一つの言葉で 引き継ぐ唯一の形式である。量子力学では eiS/ℏe^{iS/\hbar} の位相をあらゆる経路で足し合わせると、古典極限 ℏ→0\hbar \to 0 で δS=0\delta S = 0 の経路が最大寄与を持つことがそのまま従う。「なぜ自然は定常経路を選ぶのか」の答えは、量子力学にあるのである。

Pythonで確かめる

# 単振り子の離散変分積分(symplectic Verlet)で経路を描き、
# 離散エネルギーが(細かな振動はあれど)時間に対してドリフトしないことを見る。
# ラグランジアン L = (1/2) θ̇² + cos θ  (g/ℓ = 1)。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

dt = 0.05
N  = 200

theta    = np.empty(N + 1)
theta[0] = 0.5             # 初期角度 [rad]
theta[1] = theta[0]        # 初速 0  ⇒  q₁ ≈ q₀

# このラグランジアンに対する離散 EL = symplectic Verlet
for n in range(1, N):
    theta[n + 1] = 2 * theta[n] - theta[n - 1] - dt**2 * np.sin(theta[n])

# 離散運動エネルギー(中心差分)と位置エネルギーで離散エネルギーを定義
v = (theta[2:] - theta[:-2]) / (2 * dt)
E = 0.5 * v**2 - np.cos(theta[1:-1])
t = np.arange(N + 1) * dt

fig, ax = plt.subplots(2, 1, figsize=(6, 4), sharex=True)
ax[0].plot(t, theta);        ax[0].set_ylabel("θ [rad]")
ax[1].plot(t[1:-1], E);      ax[1].set_ylabel("離散エネルギー")
ax[1].set_xlabel("t");       plt.tight_layout(); plt.show()

print(f"E_min = {E.min():.6f},  E_max = {E.max():.6f}")

角度はほぼ一定振幅で振動し、離散エネルギーは小さな幅(およそ 10−410^{-4} 以下)で揺れるだけ — ドリフトしないことが変分積分器の特徴で、作用原理から出発した時間積分が なぜ 保存量をうまく守るのかは次章の主題である。

次章へ

9章: 対称性と保存量 — ネーターの定理では、本章で見た作用が 連続対称性 — 時間並進、空間並進、回転 — のもとで不変であるとき、対称性ごとにちょうど一つの保存量(エネルギー、運動量、角運動量)が自動的に従うことを見る。変分原理が EL 方程式をきれいに書く道具ではなく、保存則の生成器であるという事実が次章の本文だ。