微分形式 — 積分の本当の主役

ベクトル解析の grad・curl・div と四つの積分定理は、多様体上の dd と一行のストークス定理に統合される。

はじめに

学部のベクトル解析では、grad・curl・div の三つの微分演算と、微積分の基本定理・グリーンの定理・ケルビン–ストークスの定理・ガウスの発散定理という四つの積分定理を、それぞれ別物として暗記する。本章は、その四つの定理が実は一行の同じ式 ∫Mdω=∫∂Mω\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega にまとまるという事実を示す章である。登場する道具は 1-形式・ウェッジ積(wedge product)・外微分(exterior derivative) dd の三つだけ。本章を終えると読者は「ベクトル場で書かれていた式を 1-形式に書き換えれば、次元によらず同じ定理が使える」という視点を手にする。7 章のラグランジュ力学で作用積分と変分を扱う際、この言語がそのまま必要になる。

本論 1 — 1-形式、ベクトルの双対

1-形式(1-form) ω\omega は、ある点でベクトル一つを受け取り実数を一つ返す線形写像である。つまりベクトルの 双対(dual) だ。座標系 x1,…,xnx^1, \ldots, x^n で微分 dxidx^i を「ベクトルの第 ii 成分を取り出す機械」として定義すると、任意の 1-形式はこの基底の線形結合として

ω=ωi dxi\omega = \omega_i \, dx^i

と書ける(アインシュタインの和の規約)。ωi\omega_i が位置の関数なら 1-形式 場(field) になる。

最もなじみ深い例が関数 f(x,y,z)f(x, y, z) の 全微分(exact differential):

df=∂f∂x dx+∂f∂y dy+∂f∂z dzdf = \frac{\partial f}{\partial x}\, dx + \frac{\partial f}{\partial y}\, dy + \frac{\partial f}{\partial z}\, dz

物理で「dfdf は微小変位 dr⃗d\vec r に対する ff の変化量」と習ったあの式である。今あらためて見ると、dfdf は単なる記法ではなく それ自体が 1-形式 だ。変位ベクトルを差し込めば関数値の 1 次変化が返ってくる機械である。

本論 2 — ウェッジ積と高次の形式

面積や体積のように向きを持つ量を扱うには、1-形式二つを掛けて 2-形式を作る道具がいる。ウェッジ積(wedge product) ∧\wedge は次の規則で定義される反対称な積である:

dx∧dy=− dy∧dx,dx∧dx=0dx \wedge dy = -\, dy \wedge dx, \qquad dx \wedge dx = 0

反対称というこの一行から全てが従う。3 次元での一般の 2-形式 は

ω=P dy∧dz+Q dz∧dx+R dx∧dy\omega = P\, dy \wedge dz + Q\, dz \wedge dx + R\, dx \wedge dy

の形をとり、ベクトル二つ u⃗,v⃗\vec u, \vec v を差し込むと、その二つが張る平行四辺形の符号付き面積(に P,Q,RP, Q, R の重みを掛けた和)を返す。nn 次元多様体上では 最高次 の nn-形式が体積要素そのものになる。向き(orientation) とは「どこでも 0 にならない最高次形式を一つ選ぶこと」と定義される — 座標を介さずに符号付き体積を定める最もきれいな方法だ。

本論 3 — 外微分 dd と grad・curl・div の統合

外微分(exterior derivative) dd は、kk-形式を受け取って (k+1)(k+1)-形式を返す線形演算である。0-形式(関数) ff については本論 1 で見た通り df=∂if dxidf = \partial_i f\, dx^i。1-形式 ω=ωi dxi\omega = \omega_i\, dx^i に対しては

dω=(∂iωj) dxi∧dxj=12 (∂iωj−∂jωi) dxi∧dxjd\omega = (\partial_i \omega_j)\, dx^i \wedge dx^j = \tfrac{1}{2}\,(\partial_i \omega_j - \partial_j \omega_i)\, dx^i \wedge dx^j

ウェッジ積の反対称性が自動的に「回転」を拾い出す。dd の最重要性質を一行で書けば

d2=0d^2 = 0

(偏微分の交換性から直ちに従う)。3 次元ではこの一つの演算がベクトル解析の三演算を統合する:

  • 0-形式 ff に dd を作用させると 1-形式 dfdf — 成分が 勾配 ∇f\nabla f。
  • 1-形式 ω=Axdx+Aydy+Azdz\omega = A_x dx + A_y dy + A_z dz に dd を作用させると 2-形式 — その成分が 回転 ∇×A⃗\nabla \times \vec A。
  • 2-形式に dd を作用させると 3-形式 — その係数が 発散 ∇⋅B⃗\nabla \cdot \vec B。

そして d2=0d^2 = 0 は、恒等式 ∇×∇f=0\nabla \times \nabla f = 0 と ∇⋅(∇×A⃗)=0\nabla \cdot (\nabla \times \vec A) = 0 の二本を一度に述べたものに他ならない。

本論 4 — 一行のストークス定理

ここからが本題。コンパクトで向きの付いた多様体 MM と境界 ∂M\partial M に対し、任意の (dim⁡M−1)(\dim M - 1)-形式 ω\omega について

∫Mdω=∫∂Mω\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega

この一行が、学部で別々に覚えた四つの定理をすべて含む。

  • MM が 1 次元区間 [a,b][a, b]、ω=f\omega = f → 微積分の基本定理 ∫abf′ dx=f(b)−f(a)\int_a^b f'\, dx = f(b) - f(a)。
  • MM が平面領域、ω=P dx+Q dy\omega = P\, dx + Q\, dy → グリーンの定理 ∬M(∂xQ−∂yP) dx dy=∮∂M(P dx+Q dy)\iint_M (\partial_x Q - \partial_y P)\, dx\, dy = \oint_{\partial M} (P\, dx + Q\, dy)。
  • MM が 3 次元空間内の 2-曲面、ω=A⃗⋅dr⃗\omega = \vec A \cdot d\vec r → ケルビン–ストークスの定理 ∬M(∇×A⃗)⋅dS⃗=∮∂MA⃗⋅dr⃗\iint_M (\nabla \times \vec A) \cdot d\vec S = \oint_{\partial M} \vec A \cdot d\vec r。
  • MM が 3 次元立体、ω\omega が 2-形式 → ガウスの発散定理 ∭M∇⋅B⃗ dV=∬∂MB⃗⋅dS⃗\iiint_M \nabla \cdot \vec B\, dV = \iint_{\partial M} \vec B \cdot d\vec S。

同じ式を、次元と形式の次数だけ変えて四回書き写しただけである。「一度覚えれば四箇所で使える」式が手に入った瞬間、ベクトル解析が急に小さく見えるようになる。

Pythonで確かめる

# 単位円板上でグリーンの定理を数値的に確認。
# omega = -y dx + x dy  →  d omega = 2 dx ^ dy
# 境界積分と領域積分のどちらも 2π 近傍になるはず。
import numpy as np

# (a) 境界積分: 単位円を t in [0, 2π] で媒介変数化
N = 20000
t = np.linspace(0.0, 2.0 * np.pi, N, endpoint=False)
dt = (2.0 * np.pi) / N
x, y = np.cos(t), np.sin(t)
dxdt, dydt = -np.sin(t), np.cos(t)

# omega(γ'(t)) = (-y)·x'(t) + x·y'(t) = sin^2 t + cos^2 t = 1
integrand_boundary = (-y) * dxdt + x * dydt
line_integral = np.sum(integrand_boundary) * dt

# (b) 領域積分: d omega = 2 dx ^ dy、単位円板上では 2·面積 = 2π
M = 2000
xs = np.linspace(-1.0, 1.0, M)
ys = np.linspace(-1.0, 1.0, M)
X, Y = np.meshgrid(xs, ys, indexing="xy")
inside = (X * X + Y * Y) <= 1.0
cell_area = (xs[1] - xs[0]) * (ys[1] - ys[0])
area_integral = 2.0 * np.sum(inside) * cell_area

print(f"∫∂M ω   = {line_integral:.6f}")
print(f"∫M  dω  = {area_integral:.6f}")
print(f"理論値 2π = {2.0 * np.pi:.6f}")

両者ともに 2π≈6.28322\pi \approx 6.2832 近傍に落ちれば、ストークス定理の最も素朴な例を手で触ったことになる。格子を細かくするほど領域積分の方がゆっくり収束する。

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7 章: ラグランジュ力学では、本章の 1-形式と外微分が作用積分 S=∫L dtS = \int L\, dt の変分を扱うのにそのまま使われる。運動方程式の左辺 ddt∂L∂q˙−∂L∂q=0\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q} - \frac{\partial L}{\partial q} = 0 も、結局は位相空間上のある 1-形式が閉形式になるという条件の成分表示にすぎない。形式の言語が頭の中にあると、ラグランジアンからハミルトニアンへ移る次章も、一行のルジャンドル変換として見えてくる。