초월수, 작도 가능성, 테일러 급수와 근사 계산 정리

초월수는 작도할 수 없다는 사실에서 출발해 — 오일러 공식, 겔폰트 상수, 테일러 급수, 이항정리까지 — 복잡한 함수를 계산 가능한 무한 다항식으로 바꾸는 한 줄짜리 철학을 따라간다.

이 노트는 한 줄의 질문을 따라간다: ”$\pi$ 나 $e$ 처럼 깔끔한 수식으로 떨어지지 않는 수들을, 우리는 어떻게 계산해 내는가?” 이 질문에 답하려면 먼저 어떤 수가 어떤 식으로 손에 잡히지 않는가를 분류해야 하고(초월수·작도 가능성), 그 수들이 의외의 곳에서 서로 연결되는 풍경을 봐야 하며(오일러 공식, 겔폰트 상수), 마지막으로 손에 잡히지 않는 함수를 손에 잡히는 다항식으로 바꾸는 도구 — 테일러 급수와 이항정리 — 를 손에 쥐어야 한다. 차례차례 따라가 본다.

초월수와 작도 가능성

수의 세계는 동심원으로 쌓여 있다. 자연수 안에 정수가 있고, 정수 안에 유리수가 있고, 유리수 안에 실수가 있다. 그런데 실수를 또 한 번 어떻게 만들어지는가로 나누면 두 종류가 보인다 — 정수 계수 다항식의 해로 나오는 대수적 수(algebraic number) 와, 그렇지 못한 초월수(transcendental number). 예컨대 $\sqrt{2}$ 는 $x^2 - 2 = 0$ 의 해라 대수적 수, 황금비 $\tfrac{1+\sqrt5}{2}$ 도 $x^2 - x - 1 = 0$ 의 해라 대수적 수다.

작도 가능한 수는 자와 컴퍼스만으로 만들 수 있는 길이에 해당한다. 작도가 가능하다는 말은 유리수에서 출발해서 사칙연산과 제곱근만으로 한 단계씩 올라가 그 수에 닿을 수 있다는 뜻이다. 그래서 작도 가능한 수는 어떤 다항식 사슬의 해로 표현될 수밖에 없고, 결국 대수적 수의 부분집합이 된다.

$$\text{작도 가능한 수} \subset \text{대수적 수}$$

따라서 초월수는 작도할 수 없다. 어떤 정수 계수 다항식의 해도 되지 못한다는 사실이 자와 컴퍼스가 닿지 못하는 영역을 만든다.

$$\pi,\ e \quad \text{등은 초월수이다.}$$

특히 그리스 시대부터 내려온 세 가지 작도 불가능 문제 가운데 원적문제(squaring the circle) — 원과 같은 넓이의 정사각형을 작도하는 문제 — 는 결국

$$\sqrt{\pi}$$

를 작도할 수 있는가의 문제로 바뀐다(반지름 1 인 원의 넓이가 $\pi$ 이므로 같은 넓이의 정사각형 한 변이 $\sqrt{\pi}$). 그런데 $\pi$ 가 초월수이므로 $\sqrt{\pi}$ 역시 작도 불가능하다. 2000년 넘게 묻혀 있던 질문이 ”$\pi$ 는 대수적 수인가” 라는 한 문장으로 답이 났다 — 1882년 린데만(Lindemann)의 증명이 그것이다.

오일러 공식

지금까지 $\pi$ 와 $e$ 가 초월수라는 사실까지 왔다. 이 두 수는 따로따로 살지 않는다 — 한 줄의 식 안에서 서로 묶인다. 다음 절에서 $e^\pi$ 라는 새로운 초월수를 만들기 위한 발판이 바로 그 한 줄, 오일러 공식이다.

오일러 공식은 다음과 같다.

$$e^{ix} = \cos x + i \sin x$$

이 식은 지수함수, 삼각함수, 복소수, 회전을 하나로 연결한다. 좌변의 $e^{ix}$ 는 원래는 지수함수 인데 지수 자리에 허수 $ix$ 가 들어갔다는 점에서 도무지 무슨 값일지 알 수 없는 표현이다. 그런데 우변의 $\cos x + i\sin x$ 는 복소평면 위에서 반지름 1 인 원 위의 한 점 이고, $x$ 가 늘어남에 따라 그 점이 시계 반대 방향으로 회전한다. 즉 오일러 공식은 “지수 자리에 허수를 넣으면 회전이 된다”는 사실의 식이다. 지수가 늘이는 일을 하는 것이 아니라 돌리는 일을 한다는 이 그림이 이후의 모든 풍경의 근거다.

특히 $x = \pi$ 를 대입하면 원 위에서 180도(반 바퀴) 돈 자리에 도착하는데, 그 자리가 정확히 $-1$ 이다.

$$e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi = -1$$

따라서

$$e^{i\pi} + 1 = 0$$

이 된다. 다섯 개의 가장 기본적인 상수($0, 1, e, \pi, i$) 와 세 가지 가장 기본적인 연산(덧셈, 곱셈, 거듭제곱) 이 한 식 안에 모인 형태라서 자주 “가장 아름다운 식”이라 불린다.

겔폰트 상수

오일러 공식이 손에 있으면, 서로 다른 두 초월수를 곱·거듭제곱해서 또 다른 초월수를 만드는 놀이가 가능해진다. 그 가장 깔끔한 예가 $e^\pi$ — 겔폰트 상수다.

오일러 공식에서

$$-1 = e^{i\pi}$$

이므로, 양변을 $-i$ 제곱하면

$$(-1)^{-i} = (e^{i\pi})^{-i} = e^{i\pi \cdot (-i)} = e^{-i^2 \pi} = e^\pi$$

가 된다 ($-i^2 = -(-1) = 1$ 을 이용). 이 수

$$e^\pi$$

는 겔폰트 상수로 알려져 있으며 초월수이다. 식만 보면 $-1$ 이라는 평범한 수에 $-i$ 라는 평범한 수를 올린 것뿐인데, 결과가 초월수 라는 사실이 놀랍다.

왜 초월수인지는 강력한 정리 한 줄이 보장한다 — 겔폰트–슈나이더(Gelfond–Schneider) 정리: $a$ 가 $0, 1$ 이 아닌 대수적 수이고 $b$ 가 대수적 무리수이면

$$a^b$$

는 초월수이다. 여기서 $-1$ 과 $-i$ 는 모두 대수적 수고($-1$ 은 $x + 1 = 0$ 의 해, $-i$ 는 $x^2 + 1 = 0$ 의 해), $-i$ 는 유리수가 아니라(허수다) 무리수 — 즉 정리의 조건을 정확히 만족시킨다. 그러므로

$$(-1)^{-i} = e^\pi$$

는 초월수이다. 작도 불가능을 넘어, 어떤 다항식의 해도 될 수 없는 수가 평범해 보이는 거듭제곱 한 줄에서 튀어나오는 셈이다.

지수함수의 테일러 급수

지금까지 $e$ 와 $e^x$ 가 추상적인 대상으로 등장했다. 그런데 실제로 $e \approx 2.71828$ 이라는 값은 어떻게 계산해 내는가? 더 일반적으로, $e^{0.3}$ 이나 $e^\pi$ 같은 값은 어떻게 구하는가? 이 질문에 답하려면 함수를 다항식으로 풀어 쓰는 도구 — 테일러 급수 — 가 필요하다. 다항식은 덧셈·곱셈만으로 계산할 수 있으니, 함수를 다항식으로 바꿔 놓으면 손계산이든 컴퓨터 계산이든 모두 가능해진다.

지수함수는 다음과 같이 전개된다.

$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$$

이는 테일러 전개로부터 나온다.

일반적으로 함수 $f(x)$ 의 $x = 0$ 에서의 테일러 전개는

$$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3 + \cdots$$

이다. 이 공식이 어떻게 유도되는가는 다음 절(기하학적 의미)에서 직관으로 풀고, 여기서는 지수함수에 적용한 결과만 본다.

지수함수의 특별한 성질은 — 몇 번 미분해도 자기 자신이 된다 — 는 것이다.

$$\frac{d}{dx} e^x = e^x$$

이고, 따라서 $f^{(n)}(x) = e^x$, 그리고 $x = 0$ 에서는

$$f^{(n)}(0) = e^0 = 1$$

이다. 즉 일반 공식의 모든 $f^{(n)}(0)$ 자리에 1 이 들어간다. 그 결과 전개식이

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$$

가 된다. 모든 항이 살아남는 가장 단순하고 가장 대칭적인 전개 — 이게 지수함수가 미분과 가장 짝이 잘 맞는다는 사실의 또 다른 얼굴이다.

테일러 전개의 기하학적 의미

식만 보면 왜 그런 모양이어야 하는지 가 흐릿하다. 직관 한 줄로 풀어 두자. 테일러 전개는 복잡한 곡선을 한 점 근처에서 다항식으로 근사하는 방법이다. 점에서 출발해, 기울기를 더하고, 휘어짐을 더하고, 휘어짐의 변화를 더하고… — 한 항씩 더할 때마다 곡선이 더 정확해진다.

$$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots$$

각 항의 의미는 다음과 같다.

$$f(0): \text{현재 위치}$$ $$f'(0)x: \text{접선, 즉 현재 기울기}$$ $$\frac{f''(0)}{2!}x^2: \text{곡률, 즉 휘어짐}$$ $$\frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3: \text{휘어짐의 변화}$$

즉 테일러 전개는 “곡선을 현미경으로 본 국소적 정보”를 수식화한 것이다. 0차항만 쓰면 그 점 한 곳에만 맞고, 1차까지 쓰면 접선이 되어 가까운 근방에서 맞고, 2차까지 쓰면 그 점에서 곡선과 가장 잘 접하는 포물선이 되며, 항이 늘수록 그 점 근방의 형태를 더 정확히 잡는다. 이 그림이 다음 절들에서 직접 손계산으로 확인된다.

접선 근사

가장 단순한 경우 — 테일러 급수에서 처음 두 항 만 살린 1차 근사 — 부터 손에 잡아 본다. 이게 학교에서 “선형 근사” 라 부르는 것이다. 곡선을 그 점에서의 접선으로 갈음하는 셈이라, 가까운 곳에서는 잘 맞지만 멀어지면 빠르게 어긋난다.

접선 근사의 기본 공식은 다음과 같다.

$$y = f(a) + f'(a)(x - a)$$

특히 $a = 0$ 이면

$$y = f(0) + f'(0)x$$

가 된다.

예를 들어

$$f(x) = x^2$$

에서 $a = 1$ 근처의 접선은

$$f(1) = 1, \qquad f'(x) = 2x, \qquad f'(1) = 2$$

이므로

$$y = 1 + 2(x - 1) = 2x - 1$$

이다.

따라서 $x = 1.01$ 처럼 1 에 매우 가까운 값 에서는

$$1.01^2 \approx 2(1.01) - 1 = 1.02$$

실제값은

$$1.01^2 = 1.0201$$

이다. 소수점 두 자리까지 일치한다. 가까운 곳에서는 잘 맞지만, $x = 101$ 처럼 멀리 떨어진 곳 — 즉 기준점 $a = 1$ 에서 100 만큼 떨어진 곳 — 에서는 $y = 201$ 이라는 답이 나와서 실제값 $101^2 = 10201$ 과 한참 어긋난다. 곡선을 국소적으로만 본 결과의 한계다.

√5 의 접선 근사

이 도구를 손에 들고, 실제로 어려운 값 — 무리수 $\sqrt{5}$ — 을 계산해 본다. 핵심 아이디어는 우리가 이미 답을 아는 가까운 점을 기준으로 삼는 것. $\sqrt{x}$ 의 값을 직접 외우고 있는 곳은 $x$ 가 제곱수일 때다 — $\sqrt{1} = 1$, $\sqrt{4} = 2$, $\sqrt{9} = 3$, … 그 중 5 에 가장 가까운 것은 $x = 4$, 거리 1. 그래서 $\sqrt{5}$ 는 $\sqrt{4} = 2$ 에서 한 발짝 떨어진 곳의 값으로 근사한다.

$$f(x) = \sqrt{x}$$

라고 두면

$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

이다. $\sqrt{5}$ 를 구하기 위해 $4$ 근처에서 근사한다.

$$f(4) = 2, \qquad f'(4) = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$$

따라서 접선 근사는

$$\sqrt{x} \approx 2 + \frac{1}{4}(x - 4)$$

이다. $x = 5$ 를 대입하면

$$\sqrt{5} \approx 2 + \frac{1}{4} = 2.25$$

실제값은

$$\sqrt{5} \approx 2.2360679$$

이다. 소수점 한 자리는 맞고, 두 자리에서 어긋난다 — 1차 근사로는 이 정도가 한계다. 더 정확히 잡으려면 다음 항(2차)을 더해야 한다.

√5 의 2차 테일러 근사

1차 근사가 접선이었다면, 2차 근사는 그 점에서 곡선과 가장 잘 접하는 포물선이다. 곡선이 위로 휘었는지 아래로 휘었는지까지 반영하므로, 1차 근사가 위로 넘친 자리에서 자연스럽게 아래로 끌어내리는 보정이 들어간다.

$$f(x) = \sqrt{x}$$

에 대해

$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$ $$f''(x) = -\frac{1}{4x^{3/2}}$$

이다. 2차 도함수가 음수 — 즉 $\sqrt{x}$ 는 위로 볼록한 곡선 — 이라는 사실에 주목하자. 이게 곧 접선이 위로 넘쳤다는 사실을 뒤에서 보정한다.

$x = 4$ 에서

$$f''(4) = -\frac{1}{4 \cdot 8} = -\frac{1}{32}$$

이므로 ($4^{3/2} = (\sqrt 4)^3 = 8$), 2차 근사는

$$\sqrt{x} \approx 2 + \frac{1}{4}(x - 4) + \frac{1}{2!} \cdot \left(-\frac{1}{32}\right) (x - 4)^2 = 2 + \frac{1}{4}(x - 4) - \frac{1}{64}(x - 4)^2$$

이다. $x = 5$ 를 넣으면

$$\sqrt{5} \approx 2 + \frac{1}{4} - \frac{1}{64} = 2.234375$$

이다. 1차 근사가 2.25 였는데 한 항 더 더한 결과는 2.234375 — 실제값 2.2360679 와 비교하면 2.25 보다 0.012 정도 더 가까워졌다. 항을 더할 때마다 오차가 자릿수 한 줄씩 줄어드는 풍경이 그대로 드러난다.

일반화된 이항정리

테일러 급수와 짝을 이루는 또 하나의 도구가 이항정리다. 학교에서 배운 이항정리는 $(a + b)^n$ 의 $n$ 이 자연수 일 때만 통하는 식이었는데, 뉴턴이 그 식을 지수가 자연수가 아닐 때까지 일반화했다. 그 결과가 분수·음수·실수 지수까지 다 통하는 무한급수 — 그리고 이 무한급수가 사실은 $(1 + t)^a$ 라는 함수의 테일러 전개 와 정확히 같은 식이다.

뉴턴의 일반화된 이항정리는 다음과 같다.

$$(1 + t)^a = 1 + at + \frac{a(a-1)}{2!}t^2 + \frac{a(a-1)(a-2)}{3!}t^3 + \cdots$$

여기서 $a$ 는 정수가 아니어도 된다. $a$ 가 양의 정수일 때는 어느 시점에서 $a, a-1, a-2, \ldots$ 가 0 에 닿아 그 뒤 항이 전부 사라지므로 유한 다항식이 되지만, $a$ 가 분수나 음수면 0 이 영영 나오지 않아 무한 급수 가 된다. 그리고 이 급수는 $|t| < 1$ 에서만 수렴한다 — 이 수렴 조건은 다음 절에서 $\sqrt{5}$ 를 계산할 때 결정적인 역할을 한다.

예를 들어

$$\sqrt{1 - x^2} = (1 - x^2)^{1/2}$$

이므로 $a = \tfrac{1}{2}$, $t = -x^2$ 를 대입하면

$$\sqrt{1 - x^2} = 1 - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{8}x^4 - \cdots$$

가 된다. 이 식은 원 $y = \sqrt{1 - x^2}$ — 즉 단위원의 위쪽 반 — 을 0 근처에서 다항식으로 풀어 쓴 것이고, 그래서 원이라는 도형과 다항식이라는 식을 잇는 다리가 된다.

이항정리로 √5 근사

같은 $\sqrt{5}$ 를 이번에는 이항정리로 구해 본다. 두 방법(테일러 vs 이항정리)이 같은 답에 도착한다는 검증이고, 동시에 이항정리의 수렴 조건을 어떻게 다루는지 보여 주는 사례다.

문제는 — 이항정리의 표준 모양은 $(1 + t)^a$ 인데, $\sqrt{5}$ 안에는 $1 + t$ 모양이 보이지 않는다는 점. 그래서 식 자체를 변형해서 그 모양으로 끌어내려야 한다. 5 에 가장 가까운 제곱수 4 를 활용해서 5 를 4 의 무엇 배 로 보면

$$\sqrt{5} = \sqrt{4 \cdot \frac{5}{4}} = 2\sqrt{\frac{5}{4}} = 2\left(1 + \frac{1}{4}\right)^{1/2}$$

이다. 안쪽이 정확히 $(1 + t)^{1/2}$ 꼴이고 $t = \tfrac{1}{4}$ 이므로 $|t| = 0.25 < 1$ — 수렴 조건을 만족한다.

일반화된 이항정리에서 $a = \tfrac{1}{2}$ 를 넣고 계수를 직접 계산하면

$$(1 + t)^{1/2} = 1 + \frac{1}{2}t - \frac{1}{8}t^2 + \frac{1}{16}t^3 - \frac{5}{128}t^4 + \cdots$$

이므로 $t = \tfrac{1}{4}$ 를 넣으면

$$\sqrt{5} = 2\left[ 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} - \frac{1}{8}\left(\frac{1}{4}\right)^2 + \frac{1}{16}\left(\frac{1}{4}\right)^3 - \frac{5}{128}\left(\frac{1}{4}\right)^4 + \cdots \right]$$

몇 항만 계산해도

$$\sqrt{5} \approx 2.236328125$$

가 된다. 실제값 $2.2360679$ 와 비교하면 소수점 셋째 자리까지 일치한다. 앞 절의 2차 테일러 근사(2.234375)보다 훨씬 정확한데, 그 이유는 — 같은 2차까지를 비교해도 이항정리 쪽이 더 좋은 기준점($x = 4$ 대신 $t = 1/4$)에서 출발하기 때문이고, 위 계산은 5차까지 더했으니 한 차이가 더 벌어진 것이다.

e 의 테일러 급수 계산

이제 $e$ 자체의 값 을 직접 구해 본다. 앞에서 얻은 지수함수의 테일러 급수에 $x = 1$ 만 대입하면 끝이다 — 식이 가장 단순한 자리.

지수함수의 급수

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$$

에서 $x = 1$ 을 대입하면

$$e = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots$$

이다. 분모의 $n!$ 이 어마어마하게 빨리 자란다는 점이 핵심이다 — $5! = 120$, $10! = 3{,}628{,}800$, $20!$ 은 19자리. 그래서 항을 몇 개만 더해도 빠르게 $e$ 의 진짜 값에 수렴한다.

예를 들어 첫 7 개 항만 더하면

$$e \approx 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} + \frac{1}{720}$$ $$= 2.718055\cdots$$

이다. 실제값 $e = 2.718281\cdots$ 와 비교하면 소수점 셋째 자리까지 일치한다. 항을 두세 개 더 더하면 소수점 5-6 자리까지 맞아 들어간다 — $n!$ 의 폭발적인 증가가 무한 합을 실용적으로 계산 가능한 합으로 바꾸는 셈이다.

e 의 이항정리적 계산

같은 $e$ 를 전혀 다른 입구로 들어가도 같은 값에 닿는다. 이 사실 자체가 수학의 아름다움 중 하나라서 한 번 따라가 본다. 이 입구는 — 복리(compound interest)의 극한 이라는, 17세기 베르누이가 발견한 이야기다.

자연상수 $e$ 는 다음 극한으로 정의할 수 있다.

$$e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$$

(직관: 100% 의 이자를 1 년에 한 번 받으면 $(1 + 1)^1 = 2$, 반년마다 받으면 $(1 + \tfrac12)^2 = 2.25$, 매월 받으면 $(1 + \tfrac1{12})^{12} \approx 2.613$, 매일 받으면 $\approx 2.7146$ … 지급 주기를 무한히 짧게 만들 때 닿는 극한이 정확히 $e$ 다.)

이 극한이 앞 절의 테일러 급수와 같은 값 인 이유를 직접 보여 본다. 이항정리를 적용하면

$$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = 1 + n \cdot \frac{1}{n} + \frac{n(n-1)}{2!} \cdot \frac{1}{n^2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!} \cdot \frac{1}{n^3} + \cdots$$

이다. 각 항을 자세히 들여다보면, 분자에 $n(n-1)(n-2)\cdots$ 라는 곱이 있고 분모에 같은 개수의 $n$ 이 곱해져 있다. $n \to \infty$ 를 보내면 분자의 $(n-1)/n, (n-2)/n, \ldots$ 같은 비율이 전부 1 에 수렴하고, 남는 것은 분모의 팩토리얼 뿐 — 각 항은

$$1, \quad 1, \quad \frac{1}{2!}, \quad \frac{1}{3!}, \quad \frac{1}{4!}, \ldots$$

로 수렴한다. 따라서

$$e = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots$$

가 된다. 앞 절(테일러 입구)에서 얻은 식과 글자 하나 다르지 않은 똑같은 식이다. 복리 극한과 미분방정식 — 출발점이 전혀 다른 두 길이 같은 도착점에 모인다는 사실이, $e$ 가 우연히 만들어진 수가 아니라 자연스럽게 떠오르는 수라는 증거다.

log 5 의 테일러 급수 계산

지수함수 다음으로 자주 테일러 전개를 쓰는 함수는 로그 다. 그런데 로그의 테일러 급수는 수렴 반경 이라는 함정이 있다 — 어디서나 통하는 게 아니라 특정 범위에서만 수렴한다. 이 함정을 어떻게 우회하는지를 $\ln 5$ 의 계산으로 본다. (여기서 $\log$ 는 자연로그 $\ln$ 으로 본다.)

기본 공식은

$$\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$$

이다. 이 식의 우변은 $|x| < 1$ 에서만 수렴한다 — $|x| \ge 1$ 이면 각 항의 절댓값이 점점 커지거나 작아지지 않아서 무한 합이 흐트러진다. 그래서 $\ln 5 = \ln(1 + 4)$ 로 쓰면 $x = 4$ 라서 수렴하지 않는다. 식 자체는 형식적으로 쓸 수 있지만, 더해도 답에 다가가지 못한다.

해결책은 — $\ln 5$ 를 $|x| < 1$ 영역의 어떤 $x$ 로 옮겨 적는 것. 그 트릭이 다음 공식이다.

$$\ln a = 2\left(z + \frac{z^3}{3} + \frac{z^5}{5} + \frac{z^7}{7} + \cdots\right), \qquad z = \frac{a - 1}{a + 1}$$

이 공식은 $\ln a = \ln \tfrac{1+z}{1-z} = \ln(1+z) - \ln(1-z)$ 를 풀어쓴 결과인데, 핵심은 $a$ 가 크더라도 $z = \tfrac{a-1}{a+1}$ 은 항상 1 보다 작은 양수 라는 점이다 (양수 $a$ 에 대해 $a + 1 > a - 1$). 즉 모든 양수 에 대해 수렴하는 안전한 공식이 된다.

$a = 5$ 이면

$$z = \frac{5 - 1}{5 + 1} = \frac{2}{3}$$

이고 $|z| = 2/3 < 1$ — 수렴 조건을 만족한다. 그러므로

$$\ln 5 = 2\left( \frac{2}{3} + \frac{(2/3)^3}{3} + \frac{(2/3)^5}{5} + \frac{(2/3)^7}{7} + \cdots \right)$$

이다.

실제값은

$$\ln 5 \approx 1.6094379$$

이다. 위 급수의 첫 네다섯 항을 더하면 소수점 3 자리까지 맞는다 — 같은 값을 수렴하지 않는 식으로 시도했다가 수렴하는 식으로 바꿔 잡은 결과다.

로그 급수와 이항정리의 연결

마지막으로 한 가지 마법 — 이항정리와 로그 급수가 사실은 같은 식의 두 얼굴 이라는 사실. 한 식을 살짝 미분하는 것만으로 다른 식이 떨어진다.

일반화된 이항정리

$$(1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots$$

에서 양변을 $\alpha$ 에 대해 미분한다 (즉 $x$ 를 고정하고 지수 $\alpha$ 를 변수로 본다). 좌변은 $\ln$ 의 도함수 공식 $\tfrac{d}{d\alpha} a^\alpha = a^\alpha \ln a$ 에 의해

$$\frac{\partial}{\partial \alpha}(1 + x)^\alpha = (1 + x)^\alpha \ln(1 + x)$$

가 된다. 여기에 $\alpha = 0$ 을 넣으면 $(1+x)^0 = 1$ 이므로

$$\left.\frac{\partial}{\partial \alpha}(1 + x)^\alpha\right|_{\alpha=0} = \ln(1 + x)$$

가 된다. 우변은 — 이항정리의 각 항을 $\alpha$ 에 대해 미분한 뒤 $\alpha = 0$ 을 넣으면 — 신기하게도

$$\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$$

가 얻어진다. 즉 이항정리의 미분의 일부가 정확히 로그 급수 다. 이 둘을 따로 외울 필요가 없다는 뜻 — 한 식을 알면 다른 식은 미분 한 번 으로 따라 나온다.

핵심 요약

지금까지 본 다섯 개의 식 — 오일러 공식, 지수함수 테일러 급수, 일반 테일러 전개, 일반화된 이항정리, 로그 급수 — 을 모아 본다.

$$e^{ix} = \cos x + i \sin x$$ $$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$$ $$f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots$$ $$(1 + t)^a = 1 + at + \frac{a(a-1)}{2!}t^2 + \cdots$$ $$\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$$

이 모든 식의 공통된 철학은 다음과 같다.

$$\text{복잡한 함수} \quad \longrightarrow \quad \text{계산 가능한 무한 다항식}$$

복잡한 함수 — 지수, 로그, 거듭제곱, 회전 — 을 덧셈과 곱셈만으로 계산할 수 있는 무한 다항식 으로 옮겨 적는 것. 이게 17–18세기의 수학자들이 발견한 계산의 보편 공식 이고, 오늘날 계산기와 컴퓨터가 $\sin 30°$ 와 $\ln 2$ 같은 값을 내부적으로 구하는 방법의 뿌리이기도 하다. 손에 잡히지 않던 수가 유한한 손계산으로 임의의 정확도까지 잡힌다는 것 — 그게 이 노트가 한 줄로 따라간 풍경이다.